随笔分类 - 数学-组合-计数相关
摘要：题目 点这里看题目。 分析 显然这是一道 DP 题目。 显然，由于 $B,C$ 都是关于列，只有 $A$ 是关于行的，我们应该逐列做 DP。 状态有一点小技巧，我们可以设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 列，其中有 $j$ 行出现了第一个黑格子，且这 $j$ 行的相对顺序已经确定的方案数。 No
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先，我们不妨考察 \(n=1\) 的情况。如果认为 \(F(x)\) 为连通无向图的 EGF，则事实上，我们可以直接考虑任意一个连通块和剩下的方案数，连通块个数的 EGF \(C(x)\) 为： \[ C=F\exp F \] 考察 $n>1$ 的情况，不妨从 $n=
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 设 \(p_j=\sum_{k=1}^ja_k,S=p_n\)。 一眼写出答案： \[ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{n-1}w_j\sum_{k=0}^S|k-p_j|&\binom{k+j-1}{j-1}\binom{S-k+n-j-1}{n
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 由于本题明显涉及到了两个需要控制的变量，也就是序列长度和序列权值，我们引入二元生成函数，用 \(x\) 的指数描述长度，用 \(y\) 的指数描述权值。 容易发现，序列上可以被划分成两种极长连续段的交错组合：黑白段和灰色段。考虑到两个黑白段之间必然存在非空灰色段，我们把灰
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先，设原图的最小生成树的边集为 \(T\)，则容易得到： \[ \begin{aligned} E(\max_{x\in T}e_x) &=\int_{0}^1P(t<\max_{x\in T}e_x)\mathrm dt \end{aligned} \] 而可以发现
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摘要：题目 点这里看题目。 省流版：求结点个数为 \(n\) 的结点儿子数不超过 3 的无标号有根树个数。 对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le n\le 10^5\)。 分析 首先，遇到这种问题，不难猜想使用生成函数；并且，其余一大堆树计数的问题，都可以用生成函数解决。 设 \(G(x)
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摘要：题目 点这里看 F 题。 分析 很不错的一道题。 我们可以尝试改写一下循环语句： for i in range(l, r): 其实等价于： for i in range(1, n): if( l <= i and i <= r ): 为了方便，这里“引入”了 if 语句，同时使用了 python 的
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 很不错的 DP 题目。 简单分析一下问题的结构：对于一次操作，直观上我们可以选一条边，然后加入一个类三角形的结构。现在对于这个三角形，我们既可以基于初始的边继续加入三角形，也可以基于新的三角形的另外两边加入新的三角形。注意到，一个三角形的另外两条边对应的是独立的子问题。这
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 很不错的题目。看起来怎么一点都不签到？ 首先需要深入地观察，\(x|y\) 和 \(x\&y\) 到底代表着什么？这实际上取决于我们观察它们的角度： 站在运算的角度，我们的逻辑是：输入 \(x,y\)，我们最终得到 \(x|y\) 或者 \(x\&y\)； 而由于 \(x
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