随笔分类 - 数学-生成函数-FWT,FMT,FST
摘要：题目 点这里看题目。 给定一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a$ 和非负整数参数 $m$，保证 $\forall 1\le i\le n,0\le a_i<2^m$。 设 $U={1,2,3,\dots,n-1,n}$。对于非负整数 $x$，定义 $|x|$ 为 $x$ 的二进制表示中 $1$
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摘要：题目 点这里看题目。 有一个长度为 $n$ 的非负整数序列 ${a_i}_{i=1}^n$，以此生成一个 $(n+1)\times(n+1)$ 的非负整数矩阵 $A$： 对于 $0\le i\le n$，有 $A_{i,0}=0$。 对于 $1\le i\le n$，有 $A_{0,i}=a_i$
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 在此之前，约定 \(x=(x_{m-1}x_{m-2}x_{m-3}\dots x_0)_k\)，后者为 \(x\) 的 \(k\) 进制表示（从高位到低位），且根据题意至多 \(m\) 位。 约定 \(\omega_k\) 为 \(k\) 次单位根。 确实是大大地考验了
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 感觉已经很久没有正儿八经地写题解了，特意水一篇证明我还活着。 这个问题实际上就是要我们求一个子集和，不过数据范围很有诈骗的嫌疑：很容易让人只注意到 \(Q\) 和 \(2^L\)，而忽略了 \(L\) 这个参数。 从三个角度来思考这个问题： 针对 ?，我们可以直接枚举所有
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 显然可以构建出二分图的模型：将菜田放在左部，将订单放在右部，那么成为 Cabbage Master 的条件就是存在一个右部点被覆盖完的完美匹配。 那么很容易想到使用 Hall 定理。我们可以枚举右部的一个点集，并且取出右部中每个点的邻接点的并集，检查邻接点的总量是否足够。
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摘要：什么是 FWT FWT 全称为 " 快速沃尔什变换： Fast Walsh Transform " 。可以用于解决位运算卷积的问题。 什么叫位运算卷积呢？我们考虑普通的卷积，即： \(C_k=\sum_{i+j=k}A_iB_j\) 位运算卷积就是下标为位运算的卷积（此处与和或用 C++ 记号，异或
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 不难发现，设两人取得的下标集合为$S_a$和$S_b$，那么符合要求的下标集合对需要满足$S_a$和$S_b$对应的值全部异或起来为 0 。 因此，我们可以考虑异或为$0$的下标集合$S$，它对答案的贡献就是$2^{|S|}$。 根据这个思想，我们可以考虑如下的 DP ：
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摘要：题目 "点这里" 看题目。 分析 第一步可以将$A$数组转化成概率$P(j)$：每一步操作异或$j$的概率。 接着发现，$x$从$0$变成$i$的期望等于$x$从$i$变成$0$的期望。 这样我们的起点虽然不一样，但是终点就是一样的。这样我们可以套用随机游走的模型： $f(i)$：从$i$为起点变成
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摘要：题目 "点这里" 看题目。 分析 设$count(x)$为$x$的二进制中$1$的个数。因此$f(u,v)=count(u\oplus v)$ 看一看每次转移，我们发现最不友好的东西就是$f(u,v)$，因此我们得想办法把它从我们的计算中丢掉。 发现对于$[0,n)$中的所有数，两两异或之后不会超过
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摘要：题目 "点这里" 看题目。 分析 不难想到这样的 DP ： $f(u,j)$：以$u$为根的连通块中异或值$j$的子树的个数。 转移类似于背包，设已经合并到$u$上的信息为$g$，得到： $$f(u,j)=\sum_{(u,v)\in E}\sum_{i\oplus k=j}g(i)f(v,k)$$
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 我们先放宽条件，重新定义五元组$(a,b,c,d,e)$如下： 1.$1\le a,b,c,d,e\le n$。 2.\(s_a\&s_b=0\)。 并且设$v(a,b,c,d,e)=(s_a|s_b)&s_c&(s_d\oplus s_e)\(。（这里的\)\oplus
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