广义圆方树学习笔记

广义圆方树上一条从 \(u\) 到 \(v\) 的简单路径，设为 \(u \to s_1 \to c_1 \to s_2 \to c_2 \to \cdots \to c_k \to s_{k + 1} \to v\)，其中 \(s\) 为方点，\(c\) 为圆点。

事实上是对原图上 \(u \rightsquigarrow v\) 所有简单路径的总结：

它们一定都是从 \(u\) 开始，经过 \(s_1\) 这个点双里的一些点来到 \(c_1\)，也即 \(s_1\) 和 \(s_2\) 两个点双唯一的交界处；

然后再离开点双 \(s_1\)，经过 \(s_2\) 的一些点，来到 \(c_2\)，即 \(s_2\) 和 \(s_3\) 两个点双唯一的交界处；

然后再离开点双 \(s_2\)，经过 \(s_3\) 的一些点，来到 \(c_3\)，即 \(s_3\) 和 \(s_4\) 两个点双唯一的交界处……

证明略。

因此不难发现以下事实：

• 有且仅有 \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) 是原图上 \(u\) 到 \(v\) 上的必经点。P4320。
• 不在 \(s_1, s_2, \ldots, s_{k +1}\) 中任何一个点双上的点，原图 \(u\) 到 \(v\) 的任何一个路径都不会经过。

然后有一个性质，一个点双内，任何一个三元互异点对 \((s, c, f)\) 都满足存在一条 \(s \rightsquigarrow f\) 的路径经过 \(c\)。

这个性质的证明要用到最大流最小割定理，这里忽略。

因此还有一个事实：

• \(u \rightsquigarrow v\) 所有路径上点的并集恰好是 \(s_1, s_2, s_3, \ldots s_{k + 1}\) 的并集。P4630。