广义圆方树学习笔记

广义圆方树上一条从 $u$ 到 $v$ 的简单路径，设为 $u \to s_1 \to c_1 \to s_2 \to c_2 \to \cdots \to c_k \to s_{k + 1} \to v$，其中 $s$ 为方点，$c$ 为圆点。

事实上是对原图上 $u \rightsquigarrow v$ 所有简单路径的总结：

它们一定都是从 $u$ 开始，经过 $s_1$ 这个点双里的一些点来到 $c_1$，也即 $s_1$ 和 $s_2$ 两个点双唯一的交界处；

然后再离开点双 $s_1$，经过 $s_2$ 的一些点，来到 $c_2$，即 $s_2$ 和 $s_3$ 两个点双唯一的交界处；

然后再离开点双 $s_2$，经过 $s_3$ 的一些点，来到 $c_3$，即 $s_3$ 和 $s_4$ 两个点双唯一的交界处……

证明略。

因此不难发现以下事实：

• 有且仅有 $c_1, c_2, \ldots, c_k$ 是原图上 $u$ 到 $v$ 上的必经点。P4320。
• 不在 $s_1, s_2, \ldots, s_{k +1}$ 中任何一个点双上的点，原图 $u$ 到 $v$ 的任何一个路径都不会经过。

然后有一个性质，一个点双内，任何一个三元互异点对 $(s, c, f)$ 都满足存在一条 $s \rightsquigarrow f$ 的路径经过 $c$。

这个性质的证明要用到最大流最小割定理，这里忽略。

因此还有一个事实：

• $u \rightsquigarrow v$ 所有路径上点的并集恰好是 $s_1, s_2, s_3, \ldots s_{k + 1}$ 的并集。P4630。