[luogu p8255] [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏

$\mathtt{Link}$

P8255 [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

$\mathtt{Description}$

$t$ 组多测。

每组给定 $x, z$，求最小的满足 $x \times y \times \gcd(x, y) = z$ 的 $y$。$y$ 不保证有解。

$\mathtt{Data} \text{ } \mathtt{Range} \text{ } \mathtt{\&} \text{ } \mathtt{Restrictions}$

• $1 \le t \le 5 \times 10^5$
• $1 \le x \le 10^9$
• $1 \le z < 2^{63}$

$\mathtt{Solution}$

首先看到这个题，有一个非常明显的东西：

如果有解，肯定 $x | z$，那么我们的第一步应该是判断掉 $x \nmid z$ 的情况。其次考虑令 $k = \dfrac{z}{x}$，问题转化为满足 $y \times \gcd(x, y) = k$ 的最小的 $y$。

其次我们发现：最小的 $y$ 挺迷惑的，可以证明的是 $y$ 至多只能有 $1$ 个解。

令 $g = \gcd(x, y)$，设 $a = \dfrac{x}{g}$，$b = \dfrac{y}{g}$。进一步转化为 $k = b \times g^2$，同时得到 $x = a \times g$, $y = b \times g$, $\gcd(a, b) = 1$。

想到这样一个性质：$\gcd(a, b) = 1 \ \Rightarrow \ \gcd(r \times a^s, r \times b^t) = r$。

考虑到 $x = a \times g$，$k=b\times g^2$。此时我们发现，令 $r = g^2$，$s = 2$，$t = 1$，就能得到 $g^2=\gcd(a^2 \times g^2, b \times g^2) = \gcd(x^2, k)$。我们就能用已知表示出 $g$ 了。

接下来构造 $y$ 即可。具体地：

$$y =\dfrac{k}{\sqrt{\gcd(x^2, k)}}$$

当 $\gcd(x^2, k)$ 不为完全平方数时，无解。

同时我们还能发现，$y$ 至多只能有一个解。有没有什么简洁美丽的证明证明此题中 $y$ 至多只能有 $1$ 个解？ - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

$\mathtt{Time} \text{ } \mathtt{Complexity}$

我不知道。sqrt复杂度是多少？？？？

$\mathtt{Code}$

//大无语纯数学题。码力考察0，不上代码

不错的题！