[luogu p7464] [CERC2018] The Silence of the Lamps

洛谷 P7464 [CERC2018] The Silence of the Lamps

\(\mathtt{Link}\)

P7464 [CERC2018] The Silence of the Lamps - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

\(\mathtt{Description}\)

\(T\) 组多测。

给定一个数 \(n\)，求满足以下条件的三元正整数组 \((i, j, k)\) 的数量：

• \(0 < i < j < k \le n\)

• \(i \times j \times k \le n\)

\(\mathtt{Data} \text{ } \mathtt{Range} \text{ } \mathtt{\&} \text{ } \mathtt{Restrictions}\)

• \(1 \le T \le 10^5\)
• \(1 \le n \le 10^6\)

\(\mathtt{Solution}\)

为什么不 % 1e9 + 7

发现本题中的三元组合法性满足包含关系，举个例子：\(n = 8\) 时合法的三元组一定包含 \(n = 5\) 时合法的三元组。

因此首先考虑将询问离线下来，对每个 \(g\) 求出 \(i \times j \times k = g\) 的三元组数量，进行前缀和，直接回答询问。

复杂度无法承受。考虑逆向思维，暴力枚举 \(i, j, k\)，采用桶计数的思想，将 \(i \times j \times k\) 对应的桶自增1。

然后这个题就做完了。

\(\mathtt{Time} \text{ } \mathtt{Complexity}\)

不会求，感觉大概 \(\operatorname{O}(n \log ^3n)\)？（嘴的）

\(\mathtt{Code}\)

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2022-05-04 12:34:28 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2022-05-04 12:46:55
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
inline int read() {
    int x = 0;
    bool flag = true;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            flag = false;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    if(flag) return x;
    return ~(x - 1);
}

const int maxn = 1e6 + 5;
int a[maxn];

int main() {
    int T = read();
    for (int i = 1; i < cbrt(maxn); ++i)
        for (int j = i + 1; j <= maxn / i; ++j)
            for (int k = j + 1; k <= maxn / i / j; ++k)
                ++a[i * j * k];
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i)
        a[i] += a[i - 1];
    while (T--) {
        int x = read();
        printf("%d\n", a[x]);
    }
    return 0;
}