[luogu p6857] 梦中梦与不再有梦
ps: 今天开始我要换题解布局了，不再有原题内容，不再有评测记录，而是加入了“一句话题意（Summarization）”和“附言（More）”。附言是用来写一些感想和从这道题获得的经验之类的。
\(\mathtt{Summarization}\)
给定一个无向完全图，求它的最大半欧拉子图。
\(\mathtt{Solution}\)
首先我们要明白一个事，一个点数为 \(n\) 的无向完全图中，每一个点都会有 \(n - 1\) 条边。而这个无向完全图的总边数就是 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)。
分情况讨论：
如果这个无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \nmid 2\)，那么每一个点就会向外连 \(n - 1\) 条边。我们都知道，奇数-1会得到偶数，因此这张图中每一个点都是偶点。整张图就是一个欧拉图！
因此若一张无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \nmid 2\)，它的最大半欧拉子图就是它自己。边数就是整张图的边数，\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)。
如果这个无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \mid 2\)，同理会得到每个点都是奇点。
似乎处理最大半欧拉子图有点棘手，不如我们逆向思维，考虑最少删多少条边能让这张图变成一张半欧拉图
众所周知，删一条边能让两个点的度减1.
把一张图变成半欧拉图，那么我们最多只能剩下两个奇点。如果剩下的 \(n - 2\) 个奇点能够通过删一条边，减去一个度变成偶点，那么就变成半欧拉图了！
然而你会发现，\(n\) 是一个偶数，\(n - 2\) 也是偶数！！
而且完全图，哪一条边都是应有尽有的！！
那么！
重点来了，我们只需要删除 \(\dfrac{n - 2}{2}\) 条没有公共顶点的边，就可以达到只剩下两个奇点的目的了！
可以这么理解：将剩下的 \(n - 2\) 个奇点两两配对，比如这几个奇点编号分别是 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)：
随便两两配对（随机怎么配都行）：
1 4
2 6
3 5
只需要把每一对中间的边删掉（在此例子中就是：\(1 - 4, 2 - 6, 3 - 5\) 这三条边）删掉，就可以让 \(1, 2, 3, 4, 5 ,6\) 的度分别恰好 \(-1\)。原先他们都是奇点，减去1个度自然就变成偶点了！
可能有些小伙伴还是没太明白。没有关系，我举一个例子：
这是一张 \(n=6\) 的无向完全图。
首先我们随便抽两个幸运之点，作为最后保留的两个奇点。随便抽哈，比如 \(1, 4\) 吧。我们会保持这两个点一直是奇点。
剩下的 \(2, 3, 5 ,6\) 就得乖乖被删掉一个度了。
怎么删？随便两两配对：
2 6
3 5
删掉 \(2-6\)，\(3-5\) 这两条边，便可让 \(2, 3, 5, 6\) 这四个点的度全部乖乖 \(-1\)。
那么最后，\(1, 4\) 就是这张图的唯二奇点，整张图便会变为半欧拉图。
最后的最后，我们就可以得到式子了：
设 \(f(n)\) 为答案，则：
\(f(n) = \begin{cases}\dfrac{n(n-1)}{2}&x \nmid 2\\\dfrac{n(n-1) - n + 2}{2}&x\mid2\end{cases}\)
\(\mathtt{Code}\)
/*
* @Author: crab-in-the-northeast
* @Date: 2020-10-20 11:16:31
* @Last Modified by: crab-in-the-northeast
* @Last Modified time: 2020-10-20 11:19:29
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long ll;
int main() {
int T;
std :: scanf("%d", &T);
while (T--) {
ll n;
std :: scanf("%lld", &n);
if (n % 2 != 0)
std :: printf("%lld\n", n * (n - 1) / 2);
else
std :: printf("%lld\n", (n * (n - 1) - n + 2) / 2);
}
return 0;
}
\(\mathtt{More}\)
本篇题解花费1个小时。如果你看懂了，或者觉得我写的题解很不错，请给个大拇指把！球球啦，嗷呜~
然后，感兴趣的读者可以思考以下几个问题：
- 如果本题要求必须回到最开始的梦，才能完成休息，答案是？
- 如果本题要求在能获得最大休息值的情况中，有多少种做梦方式，答案是？
更有兴趣的读者也可以自己想一些更有趣的问题哦。
那么本篇题解就至此结束啦拜拜~~~~
