[luogu p5677] 配对统计

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$\mathtt{Description}$

给定一个序列 $a$ ，定义 $(x, y)$ 为好的配对当且仅当 $1\le x, y \le n, x \ne y$ 且对于 $\forall i \in \{1, 2, \ldots, x - 1, x + 1, \ldots, n\}$ 有 $|a_x - a_y| \le |a_x - a_i|$。给定 $m$ 组询问，每组询问给定 $l, r$（$1 \le l \le r \le n$），查询 $[ l, r]$ 中有多少好的配对。

$\mathtt{Data} \text{ } \mathtt{Range} \text{ } \mathtt{\&} \text{ } \mathtt{Restrictions}$

• $1 \le n, m \le 3 \times 10^5$
• $1 \le a_i \le 10^9$
• $\forall i \ne j, a_i \ne a_j$

$\mathtt{Solution}$

处理好的配对

首先可以观察到，题目对于好的配对的描述其实就是说 $a_y$ 对于 $a_x$ 而言是整个数列中差最小的。很自然想到排序，排序后好的配对一定会相邻。需要注意的是，排序时应该采用结构体，才能保护好数列中每一个数的位置信息。其次注意原题的数据已经给出了每个数不同的限定。

排序后，设排序后的下标是 $i$，排序前的位置是 $pos_i$，对于每个数进行判断：

• $a_i - a_{i - 1} < a_{i +1} - a_i$，那么 $(pos_i, pos_{i - 1})$ 便是一组好的配对；
• $a_{i +1} - a_i < a_i - a_{i - 1}$，那么 $(pos_i, pos_{i + 1})$ 便是一组好的配对；
• $a_{i +1} - a_i = a_i - a_{i - 1}$，那么 $(pos_i, pos_{i - 1}), (pos_i, pos_{i + 1})$ 两组均为好的配对。

需要注意的是，对于好的配对 $(x, y)$，$(y, x)$ 不一定是好的配对！比如 $3, 1, 4$，$(2, 1)$ 就是好的配对，而 $(1, 2)$ 不是。但是在这里，如果好的配对 $(x, y)$ 有 $x > y$，那么我们将 $x, y$ 进行调换，以 $(y, x)$ 的形式记录为好的配对。虽然 $(y, x)$ 本质上并不是好的配对，但这种记录方式完全不会影响答案。非得这么记录也不是吃饱了撑的，这是便于后面的处理，请接着往下看。

统计好的配对

上面我们已经处理好了好的配对信息，那么接下来进入第二部分，统计好的配对。

首先我们会发现，直接将所有好的配对统计进去很难用树状数组处理。又观察到题目中所给的操作只有查询，没有增删改。不免想到HH的项链，一切似乎都告诉我们，正解应该是将查询离线。

先考虑将查询按照r第一关键字l第二关键字从小到大排序，这样，每次查询都相当于查询右边界r在不断向右挪动。

不妨假想一个数组 $b_i$ 表示左端点 $l \le i$ 的好的配对个数。每次扫到一个询问，首先把右边界向右挪动到当前询问的右边界，挪动的过程中可能会扫过一些好的配对的右边界，此时我们考虑将这样的好的配对选中，将这样选中的好配对数量统计起来，再减去 $b_{l -1}$，也就是扣除左边界在要查询左边界之外的不符合条件的好的配对。

所以还需要提前将好对也按照右边界第一左边界第二排一下序……

下面是来自zhr的博客的图例

实线就是当前选中的好的配对，虚线就是未选中的好的配对（因为当前右边界还没有扫到这些配对的右边界）。同时我们可以发现 $q_1$ 的左边界在查询左边界之外，所以实际统计数量还需要把这条线段扣去。（$b_{l-1}$）

$b$ 数组怎么维护呢？想必聪明的你已经想到，用树状数组简单维护一下即可。

$\mathtt{Time} \text{ } \mathtt{Complexity}$

处理好的配对时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。（排序 $\mathcal{O}(n\log n)$，预处理好对 $\mathcal{O}(n)$）

统计好的配对时间复杂度 $\mathcal{O}((m+n)\log n)$。（$\log n$ 在树状数组上）

$\mathtt{Code}$

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2022-02-27 20:49:14 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2022-02-27 22:25:20
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define int long long
inline int read() {
	int x = 0;
	bool flag = true;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		if (ch == '-')
			flag = false;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)
		return x;
	return ~(x - 1);
}

const int maxn = 300005;
const int maxm = 300005;

int n, m;

inline int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}

struct number {
	int v, pos;
	const bool operator < (const number b) {
		return this -> v < b.v;
	}
}a[maxn];

struct pair {
	int l, r;
	const bool operator < (const pair b) {
		if (this -> r != b.r)
			return this -> r < b.r;
		return this->l < b.l;
	}
}p[maxn * 2];

int pcnt;

inline void insert_pair(int l, int r) {
	l = a[l].pos;
	r = a[r].pos;
	if (l > r)
		l ^= r ^= l ^= r;
	p[++pcnt].l = l;
	p[pcnt].r = r;
}

struct question {
	int l, r, pos;
	const bool operator < (const question b) {
		if (this -> r != b.r)
			return this -> r < b.r;
		return this->l < b.l;
	}
}q[maxm];

int c[maxn];

void add(int x) {
	for (; x <= n; x += lowbit(x))
		++c[x];
}

int query(int x) {
	int ans = 0;
	for (; x; x -= lowbit(x))
		ans += c[x];
	return ans;
}

signed main() {
	n = read();
	m = read();
	if (n == 1) {
		puts("0");
		return 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		a[i].v = read();
		a[i].pos = i;
	}
	std :: sort(a + 1, a + 1 + n);

	insert_pair(1, 2);
	insert_pair(n - 1, n);
	
	for (int i = 2; i < n; ++i) {
		int dl = a[i].v - a[i - 1].v, dr = a[i + 1].v - a[i].v;
		if (dl <= dr)
			insert_pair(i, i - 1);
		if (dl >= dr)
			insert_pair(i, i + 1);
	}
	std :: sort(p + 1, p + 1 + pcnt);

	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		q[i].l = read();
		q[i].r = read();
		q[i].pos = i;
	}
	std :: sort(q + 1, q + 1 + m);

	int ans = 0;

	for (int i = 1, j = 1; i <= m; ++i) {
		for (; j <= pcnt && p[j].r <= q[i].r; ++j)
			add(p[j].l);
		ans += q[i].pos * (j - query(q[i].l - 1) - 1);
	}

	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

$\mathtt{More}$

本题最大亮点离线。