P5536 【XR-3】核心城市

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请先阅读这个。

考虑 \(k = 1\) 时，我们必须选择树的中心。猜测 \(k \ge 1\) 时也要选择树的中心。

首先可以发现，只要我们选择树的中心，则答案一定不会超过树的半径。

现在令树的中心为根。不难发现只要 \(n \ge 3\)，这个根就有两个子树。

由于我们选择的 \(k\) 个点必须联通，所以如果我们不选择树的中心，就只能在树的中心的某个儿子 \(s_1\) 的子树里选。这会导致树的中心的另一个儿子 \(s_2\) 最深的叶子节点到达我们选择的 \(k\) 个点的距离超过树的半径，因此是不优的。

\(n \le 2\) 的情况，这个时候所有点都是中心，肯定要选。

证毕，我们必选树的中心。

因此令树的任意一个中心为根，选择以根的一棵子树即可。

不难发现这个贪心思路：看哪边的叶子距离它最近的被选的祖先最远，就把这个祖先的儿子给选上。

或者甚至不用找根，从叶子出发就好。因为 \(n \ge 3\) 的时候，以树的中心为根时的叶子和无根意义下的叶子其实是等价的。所以直接从无根意义下的叶子开始慢慢往里选 \(n - k\) 个点作为最后不选的点即可。再次手玩 \(n \le 2\) 发现也是合法的。

从叶子出发找多源最长路，普通 bfs 有困难，可以考虑魔改拓扑。每次我们只需要处理度数为 \(1\) 的点（叶子），并把这个叶子删去即可。

这个方法虽然简便但是也要依赖上面那个找根做法的证明。题解中找规律式的说明我不是很认可。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2023-04-23 19:07:23 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2023-04-23 19:33:09
 */
#include <bits/stdc++.h>
inline int read() {
    int x = 0;
    bool f = true;
    char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        if (ch == '-')
            f = false;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    return f ? x : (~(x - 1));
}

const int maxn = (int)1e5 + 5;
std :: vector <int> G[maxn];
int deg[maxn], dis[maxn];

int main() {
    int n = read(), k = n - read();
    std :: queue <int> q;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
        ++deg[u];
        ++deg[v];
    }

    for (int u = 1; u <= n; ++u) {
        if (deg[u] == 1) {
            q.push(u);
            dis[u] = 1;
        }
    }

    int ans = 0;

    while (!q.empty() && k) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        ans = dis[u];
        --k;
        for (int v : G[u]) {
            --deg[v];
            if (deg[v] == 1) {
                dis[v] = dis[u] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}