[luogu p3799] 妖梦拼木棒
妖梦拼木棒
题目背景
上道题中，妖梦斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。
题目描述
有 \(n\) 根木棒，现在从中选 \(4\) 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？
答案对 \(10^9+7\) 取模。
输入输出格式
输入格式
第一行一个整数 \(n\)。
第二行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 代表第 \(i\) 根木棒的长度。
输出格式
一行一个整数代表答案。
输入输出样例
输入样例 #1
4
1 1 2 2
输出样例 #1
1
说明
数据规模与约定
- 对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(n \le 5 \times 10^3\)。
- 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq n \le 10^5\)，\(0 \le a_i \le 5 \times 10^3\)。
分析
首先，四根木棍要拼成正三角形，不难想到只有一种可能：两根木棍的长度相等，另外两根的长度和也和前面那两根木棍长度相等。
为了方便起见，我们把木棍从大到小长度命名为\(w, x, y, z\)，此时就有\(w = x = y + z\)。
那么此题的思路也就比较好想了，采用桶计数思想，记录每个长度出现的次数，然后枚举每一种可能的长度作为\(w, x\)，然后再在二层循环中枚举和为前两根木棍长度\(w\)（\(x\)也等效，因为\(w = x\)）的木棍\(y, z\)，然后再用乘法原理，组合数来计算新方案。同时，我们还设桶计数思想中的这个桶数组为\(a\)，也就是说，\(a_i\)代表长度为\(i\)的木棍数量。
但还是这个具体怎么计算呢？分为两种情况。
- \(y \not= z\)：这种情况就是在长度为\(w\)（\(x\)）取\(2\)根的方案数\(\times\)长度为\(y\)的木棍中取\(1\)根的方案数\(\times\)长度为\(z\)的木棍中取\(1\)根的方案数。因为\(y \not= z\)，长度为\(y\)的木棍中取\(1\)根的方案数和长度为\(z\)的木棍中取\(1\)根的方案数之间可以直接画乘号（互不干涉性）。这种方案的公式就是\(C^2_{a_w} \times C^1_{a_y} \times C^1_{a_z}\)。
- \(y = z\)：这种情况就是在长度为\(w\)（\(x\)）取\(2\)根的方案数\(\times\)长度为\(y\)（\(z\)）的木棍中取\(2\)根的方案数。这次\(y = z\)了，我们要放在一个地方中考虑。用公式表示就是\(C^2_{a_w} \times C^2_{a_y}\)
讲完思路，我们就上代码咯。
代码
/*
* @Author: crab-in-the-northeast
* @Date: 2020-04-06 00:25:54
* @Last Modified by: crab-in-the-northeast
* @Last Modified time: 2020-04-06 10:23:32
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxl = 5e3 + 5;
int a[maxl];
inline int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
inline int min(int a, int b) {
return a < b ? a : b;
}
int main() {
int n;
ll ans = 0;
std :: cin >> n;
int begin = INT_MAX;
int end = INT_MIN;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int len;
std :: cin >> len;
begin = min(begin, len);
end = max(end, len);
a[len]++;
}
for(int i = begin + 1; i <= end; i++) {
if(a[i] > 1) {//数量必须>1，要不然凑不成前面的两根木棍
for(int j = begin; j <= i / 2; j++) {
if(a[j] && a[i - j]) {//看看是不是都有
if(j == i - j && a[j] >= 2)//如果两个是相等的，还需要注意这个够不够两根
ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * (a[j] * (a[j] - 1) >> 1) % mod) % mod;
else if(j != i - j)//要特别注意这个if，因为上边的条件中如果j == i - j但是a[j] < 2仍然会来到这个分支，所以我们必须保证j != i - j才能进行下一步计算
ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * a[j] * a[i - j]) % mod;
}
ans %= mod;
}
}
}
std :: cout << ans << std :: endl;
return 0;
}
