[luogu p3214] [HNOI2011] 卡农

$\mathtt{Link}$

P3214 [HNOI2011] 卡农 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

$\mathtt{Description}$

在集合 $S = {1, 2, \ldots, n}$ 中，选出 $m$ 个子集，使得

• 无空集
• 选定的 $m$ 个集合两两不同
• 选定的 $m$ 个集合中，$1$ 到 $n$ 中每个元素出现次数必为偶数。

求选定方案数。答案对 $10^8+7$ 取模。

$\mathtt{Data} \text{ } \mathtt{Range} \text{ } \mathtt{\&} \text{ } \mathtt{Restrictions}$

• $1 \le n, m\le 10^6$

$\mathtt{Solution}$

为什么不 % 1e9 + 7？？为什么为什么为什么

本题最棘手的部分是第三个性质。

那么先不考虑第三个性质，只考虑前两个，容易发现一共可以有 $2 ^n - 1$ 个非空集合可选，选 $m$ 个。显然答案是 $\dbinom{2^n - 1}{m}$。

再考虑第三个性质，发现在这种情况下，如果选定了 $m - 1$ 个集合已经确定，第 $m$ 个集合实质上已经确定。因为在前 $m - 1$ 个集合中出现了奇数次的元素一定要在这第 $m$ 个集合中，出现了偶数次的元素一定不能在这第 $m$ 个集合中，否则便不满足元素出现次数为偶数。

那么答案就是简单的 $\dbinom{2^n - 1}{m - 1}$ 吗？很遗憾的发现，第三个性质成功维护，而第一个和第二个性质没维护上。也就是说：如果新的集合是空集，或者新的集合与前几个集合重复，这些情况还需要处理。

分别处理。

首先对于新的集合是空集的情况，其实就是不算新集合，前面 $m - 1$ 个集合满足元素次数出现偶数次的情况。这提示我们递推：如果设 $f_i$ 为 $i$ 个集合中满足选法的方案数，事实上它是跟 $f_{i - 1}$ 有关的，即新的集合是空集的情况有 $f_{i - 1}$ 种。

顺着这个继续考虑重复。如果目前要选的第 $m$ 个集合与前 $m - 1$ 个集合中有一对重复的，考虑到去掉这两个集合后，剩下的 $m -2$ 个集合正好有 $f_{i - 2}$ 种方案。（因为原先是满足第三条性质的，去掉两个相同的集合，显然元素出现次数仍然都是偶数，这个性质仍然在维护）。而这两个集合则可以有 $2^n - 1 - (i - 2)$ 种选法，所以新的集合与原来有所重复的情况一共有 $f_{i - 2} \times (2^n - i + 1)$ 种。

注意到，式子中的组合数事实上只限制了 $i - 1$ 个元素的无序性，也就是说每种方案还是重复了 $i$ 次。我们需要再除以 $i$.

总递推式：

$$f_i = \dfrac{\dbinom{2^n - 1}{i - 1} - f_{i - 1} - f_{i - 2} \times (2^n - i +1)}{i}$$

$\mathtt{Time} \text{ } \mathtt{Complexity}$

$\operatorname{O}(n\log n)$

$\mathtt{Code}$

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2022-04-22 23:37:20 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2022-04-23 00:22:39
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>

#define int long long // 好习惯，此处 % 葵 %%%%%%%
//但是这样我真的很烦你知道吗？int所有高亮都变成了紫色，跟 #include 一样
//无语
inline int read() {
    int x = 0;
    bool flag = true;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            flag = false;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    if (flag)
        return x;
    return ~(x - 1);
}

const int mod = 1e8 + 7;

inline int pow(int a, int b = mod - 2) {
    int s = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= mod)
        if (b & 1)
            (s *= a) %= mod;
    return s;
}

signed main() {
    int n = read(), m = read();
    int S = pow(2, n) - 1;
    int C = S * (S - 1) % mod * pow(2) % mod;
    if (m <= 2) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    int f = 0, g = 0, h = 0;
    for (int i = 3; i <= m; ++i) {
        f = (C - g - h * (S - i + 2 + mod) % mod + mod) % mod * pow(i) % mod;
        (C *= (S - i + 1 + mod) * pow(i) % mod) %= mod;
        h = g;
        g = f;
    }
    printf("%lld\n", f);
    return 0;
}

不错的题2!