树上统计问题【一】

在树上，对于每个点 \(u\)，设 \(c(u)\) 为点对 \((s, t)\) 的数量，满足 \(s \ne t\)，且 \(s\) 到 \(t\) 的路径经过点 \(u\)。

要求用总共 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度，求出 \(c\) 数组。

我们可以把要求的 \(c(u)\) 转化成：删除与点 \(u\) 相关联的所有边后，有多少个点对不再联通。

只要点数 \(n \ne 1\)，这样删除就一定形成 \(k \ge 2\) 个连通块。设大小分别为 \(s_1, s_2, \ldots,s_k\)，那么答案就是 \(s_1 \times (n - s_1) + s_2 \times (n - s_2) + \ldots + s_k \times (n - s_k)\)。

给原树随便定个根，那么形成的连通块分别是：

• \(u\) 孤立点。构成 \(1\) 个连通块。
• \(u\) 的每个儿子对应的子树。一个儿子，对应一个子树，对应 \(1\) 个连通块。
• \(u\) 的所有祖先。如果 \(u\) 不是根，这里就构成 \(1\) 个连通块。

树上一次 dfs，上面三种连通块的大小都能很方便得到。于是做到总复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4630。

该题先构建广义圆方森林，然后圆点设权 \(-1\)，方点设权为点双连通分量的大小后，再乘上对应的 \(c(u)\) 求和为答案。

因为是广义圆方森林，应该对每棵树分别统计答案，将每棵树的大小作为上面的 \(n\)，而不是总点数。

而且这个题要统计的 \(s\) 和 \(t\) 都要求是圆点，所以统计连通块大小时只应统计圆点。

【拓展】

在 无向图 上，对于每个点 \(u\)，设 \(c(u)\) 为点对 \((s, t)\) 的数量，满足 \(s \ne t\)，且 \(s\) 到 \(t\) 的 所有路径 都经过点 \(u\)。

要求用总共 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度，求出 \(c\) 数组。

其实就是这个题 https://www.luogu.com.cn/problem/P3469

题目还是等价于断开 \(u\) 的连边后 \(s\) 和 \(t\) 不再联通。

这次，我们构建 dfs 搜索树，然后在树上 dfs，接着沿用上面的做法。但是，删除点 \(u\) 的连边后，以 \(u\) 的某个儿子 \(v\) 为根的子树可能跟 \(u\) 的祖先是连着的。

所以当且仅当 \(\mathrm{dfn}[v] \ge \mathrm{low}[u]\) 的时候，我们再将以 \(v\) 为根的子树当成一个连通块处理；否则，这个子树应该和 \(u\) 的祖先算在一个连通块中。

tarjan 同时统计就可以啦。