CF835E The penguin's game

CF835E The penguin's game - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

设两个 $y$ 的下标分别是 $a$ 和 $b$。

为方便说明，下文所有的第 $i$ 位指的都是该数二进制从低到高第 $i$ 位。

观察答案的返回值，发现返回值有四种：$0$，$x$，$y$，$x \oplus y$，而且保证这四个数是互异的。容易看出：

• 当返回值是 $0$ 时，说明有偶数个 $x$ 和偶数个 $y$；
• 当返回值是 $x$ 时，说明有奇数个 $x$ 和偶数个 $y$；
• 当返回值是 $y$ 时，说明有偶数个 $x$ 和奇数个 $y$；
• 当返回值是 $x \oplus y$ 时，说明有奇数个 $x$ 和奇数个 $y$。

显然我们更关心 $y$ 的奇偶性。不难想出：

如果询问反馈有偶数个 $y$，说明 $a$ 和 $b$ 要么均在本次询问的集合，要么均落在外面。

如果询问反馈有奇数个 $y$，说明 $a$ 和 $b$ 有一个落在本次询问的集合，有一个落在外面。

这里我注意到，看起来后面那种反馈的信息量就更足一点。

那么本题看似选取一个子集查询的过程，其实就是将所有数分成两组的过程：查询集合里面的，和外面的。

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再观察询问次数和 $n$ 的关系。发现询问次数的上界大概率是 $2\lceil \log_2n \rceil - 1$。可以想到二进制或者二分。

联想到 P5304 GXOI/GZOI2019 旅行者，有一个性质是两个数的二进制一定有某一位不同。

那道题里，我们分了 $\log_2 n$ 次组，第 $i$ 次分组，我们将第 $i$ 位是 $1$ 的分到一个组，是 $0$ 的分到一个组。

这样保证了每两个不同的数都至少一次被分在不同的组中，而且分组次数很低。

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对于这个题，我们试着先询问 $10$ 次，第 $i$ 次询问取集合：所有第 $i$ 位是 $1$ 的数。

这样以来，一定有一次询问的反馈是落在了不同的组，我们设这是第 $k$ 次询问。

而且，我们顺便获取到了 $a \oplus b$ 的值。这意味着只要我们求出两者其中之一，就可以求出另一个。

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我们知道，$a$ 和 $b$ 中的第 $k$ 位，一个是 $1$，一个是 $0$。我们就令那个是 $1$ 的是 $a$。

考虑询问第 $k$ 位和第 $i$ 位都是 $1$ 的。这样相对于查询第 $k$ 位的那次询问，我们把第 $k$ 位是 $1$ 但是第 $i$ 位是 $0$ 的丢到集合外边了。

如果返回的结果是 $a$ 和 $b$ 在同侧，说明 $a$ 的第 $i$ 位是 $0$（$a$ 被丢到外边了），否则说明 $a$ 的第 $i$ 位是 $1$。

显然查询的 $i$ 不必等于 $k$。所以这部分只用询问 $9$ 次。总询问次数满足要求。

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如果想不到刚刚这种策略也没关系。一个更普通的想法是，直接在第 $k$ 位是 $1$ 的集合中二分即可。

具体来讲，我们先查询【第 $k$ 位是 $1$ 的集合】的一半。如果返回的结果是 $a$ 和 $b$ 同侧，说明 $a$ 在另一半。否则说明 $a$ 还在这一半。继续二分查找即可。

第 $k$ 位是 $1$ 的集合大小一定不超过原集合大小的一半。原因是这个集合中的任何一个数将第 $k$ 位改成 $0$ 后，会严格变小。显然还在原集合里面。所以第 $k$ 位是 $1$ 的集合大小一定不超过第 $k$ 位是 $0$ 的集合大小。

所以这部分可以 $9$ 次询问达到目的。

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/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2022-12-19 22:20:46 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2022-12-19 22:41:16
 */
#include <bits/stdc++.h>
inline int read() {
    int x = 0;
    bool f = true;
    char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        if (ch == '-')
            f = false;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    return f ? x : (~(x - 1));
}

int n, x, y;

inline int ask(int S) {
    std :: vector <int> vec;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if ((i & S) == S)
            vec.push_back(i);
    
    if (vec.empty())
        return 0;
    
    printf("? %d ", (int)vec.size());
    for (int v : vec)
        printf("%d ", v);
    puts("");
    fflush(stdout);

    int ans = read();
    return (ans == y || ans == (x ^ y)) ? 1 : 0;
}

int t[15];

int main() {
    n = read();
    x = read();
    y = read();

    int k = 0;
    int x = 0;
    
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        t[i] = (1 << i);
        int ans = ask(t[i]);
        if (ans) {
            k = i;
            x |= t[i];
        }
    }

    int a = t[k];
    
    for (int i = 0; i < 10; ++i) if (i ^ k) {
        if (ask(t[i] | t[k]))
            a |= t[i];
    }
    
    int b = (a ^ x);
    if (a > b)
        a ^= b ^= a ^= b;
    
    printf("! %d %d\n", a, b);
    return 0;
}