CF618F Double Knapsack

CF618F Double Knapsack

我们从 $A$，$B$ 中两个集合依次选数，维护一个量 $d$，表示 $A$ 中所选数的和 $- B$ 中所选数的和，初始为 $0$。

当 $d \le 0$ 时，我们从 $A$ 中选数，当 $d > 0$ 时，我们从 $B$ 中选数，直至我们试图选的时候，发现集合已经空了为止。

考虑 $d$ 的变化。$d \le 0$ 时，它会加上一个 $[1, n]$ 的正整数，因此 $d$ 会变大成一个不超过 $n$ 的整数。

$d > 0$ 时，它会减去一个 $[1, n]$ 的正整数，因此 $d$ 会变小成一个不少于 $-n + 1$ 的整数。

也即 $d$ 的变化值域是 $(-n, n]$。

如果 $d$ 在变化的过程中，某次的值和先前某一次的值相同，那么这个变化过程中两个集合分别新增的数就分别是答案集合。比如 $\{3\}$ 和 $\{1\}$ 差 $2$，$\{3, 4, 5\}$ 和 $\{1, 9\}$ 也差 $2$，那么我们就找到了答案 $\{4, 5\}$ 和 $\{9\}$。

现在我们试图证明 $d$ 一定会有两次相同。

如果试图取 $A$ 中的数时发现取完了，也即我们从 $A$ 中取了 $n$ 次数，并且现在 $d \in (-n ,0]$。

取数的前提条件就是 $d \le 0$，因此这 $n$ 次取数，每次取数 之前 的那个时刻都是一个 $d \in (-n ,0]$ 的时刻。而最后我们又有一次时刻 $d \in (-n, 0]$，意味着我们已经有了 $n + 1$ 次 $d \in (-n, 0]$ 的时刻。而 $(-n, 0]$ 中的整数仅有 $n$ 个，根据抽屉原理，一定有两次 $d$ 相同。

如果试图取 $B$ 中的数发现取完了，同理可证（注意到 $(0, n]$ 也是 $n$ 个整数）。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2023-06-14 13:42:39 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2023-06-14 14:52:39
 */
#include <bits/stdc++.h>
inline int read() {
	int x = 0;
	bool f = true;
	char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
		if (ch == '-')
			f = false;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar())
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
	return f ? x : (~(x - 1));
}

const int N = (int)1e6 + 5;
int a[N], b[N];
typedef std :: pair <int, int> pii;
pii st[N << 1];

int main() {
	int n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		b[i] = read();
	st[n] = {1, 1};
	for (int d = n, i = 1, j = 1; ; ) {
		if (d <= n)
			d += a[i++];
		else
			d -= b[j++];
		
		if (st[d].first) {
			int p = st[d].first, q = st[d].second;
			auto f = [](int l, int r) {
				printf("%d\n", r - l);
				for (int i = l; i < r; ++i)
					printf("%d ", i);
				puts("");
			};
			f(p, i);
			f(q, j);
			return 0;
		} else
			st[d] = {i, j};
	}
	return 0;
}