CF1814D Balancing Weapons
原题明显可以转化为：
给定一个长度为 \(n\) 的数组，初始为 \(p_i\)。可以调整元素的值，但第 \(i\) 个元素必须是 \(a_i\) 的 整数 倍，并且 必须严格大于 \(\boldsymbol 0\)（保证 \(p_i\) 初始满足此要求）。求至少修改多少个元素，可以让数组的极差不超过 \(k\)。
首先观察到答案和数组内部顺序无关，即所给数列可看做可重集。这是很经典重要的信息，提示我们第一步可以向两个方向思考：
- 将数列排序。
- 对数列求出权值数组，在权值数组上考虑问题。
不过，我的做法并不需要做上面任意一步，但上面这个思维是必须要有的。本题有别的做法必须先对这个数组排序，因为排序后保留不改的元素是一段区间，这是一个非常良好的性质。
首先，修改一定有解。设 \(L\) 为所有 \(a_i\) 的 \(\operatorname{lcm}\)，我们一定可以将所有 \(p_i\) 同时修改为 \(L\)（注意这里并没有规定 \(p_i\) 的上界，即使 \(L\) 可能很大也无所谓）。那也就是说，修改 \(n\) 个元素一定可以达成目的。
接下来考虑修改少于 \(n\) 个元素的情况，这样以来一定存在一个元素没动。因此，考虑对这 \(n\) 个元素，依次钦定第 \(i\) 个元素不动考虑问题，就能把修改少于 \(n\) 个元素的情况全都考虑到。
接下来钦定第 \(x\) 个元素不动。那么必要条件是所有元素必须落入 \([p_x - k, p_x + k]\)。当然，这个条件不充分，因为这样只能保证极差不超过 \(2k\)。下面，我们称这个区间为 \(S(x)\)。这个区间是建立在数组值域上的，而非下标。
在下面，区间 \([l, r]\) 的长度被认为是 \(r - l\)，即一维坐标轴上点 \(l\) 到点 \(r\) 这条线段的长度，而非这个区间包含的整数数量 \(r - l + 1\)。那么，若干个数落在长度为 \(k\) 的区间内，可以推得这些数的极差不超过 \(k\)。
为让所有元素极差不超过 \(k\)，我们期望所有元素落在 \(S(x)\) 内部的一个长度为 \(k\) 的小区间内。这样的小区间数量为 \(k\)，可以通式地表示为 \([l, l + k]\)，其中 \(p_x -k \le l \le p_x\)。
全局小区间的数量不超过 \(nk\)，这个量级可以承受。考虑依次钦定这 \(nk\) 个小区间中的每一个，计算将所有元素落入这个小区间的最小代价，然后再对求出的所有最小代价取最小值，作为全局最小代价（答案）。这样一定可以考虑到所有情况，因为任何一种少于 \(n\) 个元素的修改方式，都能在 \(nk\) 个小区间中找到一个小区间 \(P\)，使得这种修改方式会将所有元素落入 \(P\) 内。
关于 \(nk\) 这个量级是否可承受：注意到这里确实没有限制 \(\sum k\)，但是只要限制一个 \(\sum n\) 就已经足够了。设每组数据规模分别为 \(n_1, n_2, n_3, \ldots\) 和 \(k_1, k_2, k_3, \ldots\)，最终的代价有 \(n_1k_1 + n_2k_2 + n_3k_3 + \ldots \le K\sum n\)，其中 \(K = \max(k_i)\)，因此不用限制 \(\sum k\)。
\(nk\) 已经将近到极限了，所以计算每个区间最小代价的复杂度不能超过 $\log $ 了（可以均摊）。然而事实上这题卡 \(\log\) 的常数所以我就讲讲均摊 \(\Theta(1)\) 计算每个区间的方法吧。
枚举区间本身就已经需要区间长度的复杂度，直接爆炸了。所以关键就是找到区间和区间之间的关系加速计算，使得复杂度均摊，降低。
注意到，共 \(nk\) 个小区间大体是分成 \(n\) 组的，同一个 \(x\) 的 \(S(x)\) 内部的 \(k\) 个小区间是一组。不同组的区间之间基本无关，而同组区间关系密切：\([p_x - k, p_x]\) 和 \([p_x - k + 1, p_x +1]\) 有 \(k - 1\) 的长度完全重合，而 \([p_x - k + 1, p_x +1]\) 和 \([p_x - k + 2, p_x + 2]\) 之间也有这种关系……得益于这种高度的重合性，用 双指针 加速计算同组内区间的答案：
维护两个指针 \(l = p_x - k\)，\(r = p_x\)，然后同步向右移动 \(l\) 和 \(r\) 恰 \(k\) 步，就扫描到了 \(S(x)\) 内部的这 \(k\) 个小区间。如果我们能做到这 \(2k\) 次指针移动中，每次移动都能快速更新辅助计算区间最小代价的信息（这里要求 \(\Theta(1)\)），就能做到 \(\Theta(k)\) 计算出 \(k\) 个小区间的答案，也即均摊 \(\Theta(1)\)。
当然，这里需要提前知道 \([p_x - k, p_x]\) 的信息作为初始状态。不过也可以这么理解：先令 \(l = p_x - k\)，\(r = l - 1\)，也即一个空区间，空区间内部信息一般很平凡。然后再令 \(r\) 向右移动 \(k +1\) 步，使得信息慢慢更新到 \([p_x - k, p_x]\)，然后再让 \(l\) 和 \(r\) 同步向右。这样以来就是 \(3k\) 次指针移动，影响较小。虽然我最后实际代码中，是直接计算初始区间，然后直接令 \(l = p_x - k\)，\(r = p_x\) 的；但是这个思想可以一定程度简化问题，后面的讲解可以不再考虑初始区间，只考虑指针移动时区间信息的变化，以及怎么快速维护这样的信息变化。
接下来我们关心小区间最小代价的计算方法。显然，已经在小区间内部的 \(p_i\) 无需修改，不在的必须修改，所以只要统计小区间内部 \(p_i\) 的数量 \(c\)，代价就是 \(n - c\)。因此，我们应该维护小区间内部 \(p_i\) 的数量 \(c\)。
那么双指针在移动时可以 \(\Theta(1)\) 地快速更新 \(c\) 值吗？这不难做到。考虑记录 \(\mathrm{cnp}(j) = \sum_{i = 1}^n [p_i = j]\)，这里我们只关心 \(j \in S(x)\)，也即 \(\mathrm{cnp}\) 看做长度为 \(2k + 1\) 的数组（代码实际实现时下标手动平移到 \(0 \sim 2k\) 即可）。这个记录复杂度是 \(\Theta(n)\) 的。
注意虽然 \(S(x)\) 的长度是 \(2k\)，但是 \(S(x)\) 所含整数元素数量是 \(2k + 1\)，所以 \(\mathrm{cnp}\) 的长度（数组的长度指所含元素数）为 \(2k + 1\)。
对于夹在两个双指针之间的区间 \([l, r]\)，其 \(c\) 值是 \(\sum\limits_{j = l}^r\mathrm{cnp}(j)\)。这个信息用双指针维护非常简单：当 \(r\) 从 \(r' - 1\) 移动到 \(r'\) 时，\(c\) 自增 \(\mathrm{cnp}(r')\)；\(l\) 从 \(l'\) 移动到 \(l' + 1\) 时，\(c\) 自减 \(\mathrm{cnp}(l')\)。
上面的做法比较简单，但有漏洞：上面我们直接默认任何一个不在小区间内的元素，都能落入当前小区间的内部。但这个命题并不正确，因为本题中元素的调整方法在正整数域离散——必须以 \(a_i\) 为步长。举个例子，\(a_i = 5\)，小区间 \([7, 9]\)，\(p_i\) 无论如何调整都无法落入该小区间内。
如果出现了这种情况，小区间的 \(c\) 可以正常计算，但因为所有元素无法都落入该小区间内，该小区间应当是不合法的，这个小区间的 \(\boldsymbol{n - c}\) 不应更新答案。所以，我们还需 快速维护一个区间是否合法。
一个小区间合法，等价于所有元素都存在一个正倍数点落在这个小区间中。
我们尝试标记所有元素的所有落在 \(S(x)\) 内部的正倍数点。对于 \(a_i\) 的正倍数点 \(j \in S(x)\)，我们记录 \(j\) 这个位置是 \(a_i\) 的正倍数点。注意，一个位置可以是多个 \(\boldsymbol{a_i}\) 的正倍数点。
我们不妨调整 \(S(x)\) 的定义为 \([\boldsymbol{\max(p_x - k, 1)}, p_x + k]\)。这样以来，如果一个数的倍数点落在这个区间内，它一定是正数。那么正数这个条件就不用强调了。同时本题不会涉及到 \(<1\) 的值，所以这样调整能保证不会丢掉不应该丢的情况，也同时能减少该大区间内长度为 \(k\) 的小区间的数量，有助于减少常数（本题卡常）。
这里先给出枚举且仅枚举到 \(t\) 在区间 \([L, R]\) 内的倍数点的思路（这是个常用技能）：
不小于 \(L\) 的最小 \(t\) 倍数点为 \(u = \left\lceil\dfrac L t \right\rceil \times t\)，不大于 \(R\) 的最大 \(t\) 倍数点为 \(v = \left\lfloor\dfrac R t \right\rfloor \times t\)。
从 \(u\) 到 \(v\) 按照 \(t\) 的步长跳跃即可枚举到所有 \(t\) 在 \([L, R]\) 内的倍数点，并且无多余枚举。
考虑最坏的情况，\(a_i = 1\)。这样以来，\(S(x)\) 里的所有位置里，每个位置都是所有元素的倍数点。这样以来标记复杂度直接卡满到 \(2nk\)，我们要处理 \(n\) 组小区间，这样总复杂度直接 \(n^2k\) 了，不可取。
这意味着若坚持这个做法，我们势必要放弃一些倍数点的记录。下面我给出两种思路，都需要发掘一些性质。
【思路一】
性质：如果存在 \(a_i \le k\)，则任何一个在正整数域上连续的长度为 \(k\) 的小区间，都会存在一个 \(a_i\) 的倍数点。
该性质可以被一个更强的性质推出：任何一个长度为 \(a_i\) 的小区间内，每个数 \(\bmod a_i\) 之后恰好构成 \([0, a_i - 1]\) 的整数集。比较明显，不证明了。
因此，\(a_i \le k\) 的元素不会影响任何一个小区间的合法性，只需检验是否所有 \(a_i > k\) 的元素都存在倍数点落入小区间内。下面，我们称 \(a_i > k\) 的元素为 重要元素。
这里又有特别好的性质：单个重要元素的倍数点在任何一个长度不超过 \(\boldsymbol k\) 的小区间最多出现一次。假设它出现了，并且是 \(t\)，则 \(t + a_i\) 和 \(t- a_i\) 都不落在小区间内，其它的更不会。
这个性质又可以推出 单个重要元素的倍数点在任何 \(\boldsymbol{S(x)}\) 最多出现两次，因为 \(S(x)\) 的长度不超过 \(2k\)，拆分成两个长度不超过 \(k\) 的小区间，用上面的性质证明即可。
于是，考虑预处理 \(\mathrm{cnm}(j)\) 为 \(j\) 是多少个 重要元素 的倍数点（只关心 \(j \in S(x)\)）。根据上面的讨论，这个预处理标记的过程复杂度是 \(2n\)。
小细节：因为单个重要元素 \(a_i\) 的倍数点在 \(S(x)\) 最多出现两次，所以只要尝试标记【\(\boldsymbol{a_i}\) 的不小于 \(\boldsymbol{S(x)}\) 左端点的最小倍数点】 以及【\(\boldsymbol{a_i}\) 的不超过 \(\boldsymbol{S(x)}\) 右端点的最大倍数点】，就能将 \(a_i\) 在 \(S(x)\) 内部的倍数点都标记好了。这里【尝试标记点 \(\boldsymbol u\)】，意思是如果点 \(u\) 落在 \(S(x)\) 内就标记，否则忽略。
然后维护信息：当前区间内，存在 \(s\) 个重要元素的倍数点，这里需保证单个重要元素的多个倍数点只被计数一次。
因为长度为 \(k\) 的小区间内部，单个重要元素的倍数点并不会出现多次。因此，当 \(r - l = k\) 时，信息 \(s = \sum\limits_{j = l}^r\mathrm{cnm}(j)\)。
维护同 \(\mathrm{cnp}\)：在 \(r\) 从 \(r' - 1\) 转移到 \(r'\) 时，\(s\) 自增 \(\mathrm{cnm}(r')\)。\(l\) 从 \(l'\) 转移到 \(l' + 1\) 时，\(s\) 自减 \(\mathrm{cnm}(l')\)。
而一个区间合法，当且仅当 \(s\) 与重要元素的数量相等，该判定平凡。
那么本题就做完了。考虑复杂度。
处理每组区间，预处理 \(\mathrm{cnp}\) 和 \(\mathrm{cnm}\)，复杂度 \(\Theta(n)\)；双指针扫描复杂度 \(\Theta(k)\)。共有 \(n\) 组区间，所以复杂度为 \(\Theta(n^2 + nk)\)。
【思路二】
该思路的关键在于发掘：钦定 \(p_x\) 不动时，对于任意一个 \(p_i\)，做以下三种策略之一不劣于做其它策略：
- 不调整。
- 调整到不大于 \(p_x\) 的最大 \(a_i\) 倍数点 \(u_i\)（如果未落入 \(S(x)\) 就忽略）。
- 调整到不小于 \(p_x\) 的最小 \(a_i\) 倍数点 \(v_i\)（如果未落入 \(S(x)\) 就忽略）。
证明：
考虑钦定 \(p_x\) 不动的策略，你钦定所有元素落入的小区间肯定是包含 \(p_x\) 的，左端点在 \(p_x\) 左侧，右端点在 \(p_x\) 右侧的一个区间。设它是 \([l, l + k]\)，即 \(l \le p_x\)，\(l + k \ge p_x\)。
一个元素一旦被调整，就一定会产生 \(1\) 的代价，而与它调整的目标位置无关。
如果我们将 \(p_i \ne u_i - ta_i\) 调整到 \(u_i - ta_i\)，它能落入 \([l, l + k]\)，那么有 \(u_i - ta_i \ge l\)，于是 \(u_i \ge l\)。又因为 \(u_i \le p_x \le l + k\)，所以 \(u_i\) 也一定能落入 \([l, l + k]\)。因为 \(p_i \ne u_i - ta_i\)，所以将 \(p_i\) 调整到 \(u_i - ta_i\) 也会产生代价，不劣于将 \(p_i\) 调整到 \(u_i\)。
对于 \(v_i\)，同理可证将 \(p_i\) 调整到 \(v_i + ta_i\) 不劣于 \(v_i\)。\(u_i\) 和 \(v_i\) 之间一定不存在其它 \(a_i\) 倍数点了，所以所有 \(p_i\) 的调整方案都已被讨论，\(u_i\) 和 \(v_i\) 两种调整方案不劣于其它调整方案。
当然注意，如果 \(p_i = u_i - ta_i\)，它可能比 \(p_i\) 调整到 \(u_i\) 优秀，因为保持 \(p_i\) 不动没有代价，调整到 \(u_i\) 则有。因此，还有一种策略是不调整，也需要考虑。
综上，我们手动强化条件，任何一个 \(p_i\) 都只能保持 \(p_i\)，或者调到 \(u_i\)，或者调到 \(v_i\)。根据上面的讨论，这样的强化不会让原题的最优解发生变动，是可取的。如果这里 \(p_i\)，\(u_i\)，\(v_i\) 三个点中，某些点不落在 \(S(x)\) 里，就直接忽略。这三个点之间可能有相同的点，可以去重一下。
这样以来，任何一个 \(a_i\) 都只用标记最多三个倍数点，我们称之为 重要倍数点。
我们尝试沿用思路一的策略，设 \(\mathrm{cnm}(j)\) 为 \(j\) 是多少个 \(a_i\) 的某个重要倍数点。然后考虑维护双指针所夹区间内【有多少个元素，存在一个重要倍数点落在该区间】，记这个值为 \(s\)，则区间合法当且仅当 \(s = n\)。
然而，\(r -l = k\) 时，我们不保证 \([l, r]\) 的答案 \(s = \sum_{j = l}^r \mathrm{cnm}(j)\)，这是因为一个元素的重要倍数点可能落在长度为 \(k\) 的小区间内多次，性质并不像思路一那么美好。
不过，这个问题其实等价于经典的数颜色问题。我们考虑 \(n\) 种元素对应 \(n\) 个颜色，\(j\) 是 \(a_i\) 的某个重要倍数点等价于 \(j\) 这个位置有 \(i\) 这种颜色（一个位置可以有多种颜色）。然后问一个区间内部有多少种颜色。
思路一保证了一种颜色只出现在目标区间一次，所以问题简化成对颜色数求和。但事实上，没有这个条件，数颜色种数这个问题用双指针维护也是相当经典简单的。
首先我们更改状态，\(\mathrm{cnm}(j)\) 修改成一个集合，它的内容是 \(j\) 这个位置的所有颜色种类。然后我们在双指针维护时，新开一个数组 \(\mathrm{cnt}(i)\)，下标域 \([1, n]\) 的正整数，代表第 \(i\) 种元素在当前双指针所夹区间内出现多少次。
然后进行如下维护：
- \(r\) 从 \(r' - 1\) 转移到 \(r’\) 时，将 \(r'\) 处的所有颜色 \(i\) 进行如下操作：
- 如果 \(\mathrm{cnt}(i) = 0\)，则 \(s\) 自增 \(1\)。
- 将 \(\mathrm{cnt}(i)\) 自增 \(1\)。
- \(l\) 从 \(l'\) 转移到 \(l' + 1\) 时，将 \(l'\) 处的所有颜色 \(i\) 进行如下操作：
- 将 \(\mathrm{cnt}(i)\) 自减 \(1\)。
- 如果 \(\mathrm{cnt}(i) = 0\)，将 \(s\) 自减 \(1\)。
上面的转移正确性比较明显。其复杂度虽然不能保证每次运动 \(\Theta(1)\)，但可以保证指针运动的全过程中，复杂度不会超过标记出的所有颜色数，也即 \(3k\)。均摊下来还是 \(\Theta(1)\) 的。
那么这个做法也做完了，复杂度同理是 \(\Theta(n^2 + nk)\)。
下面给出做法一的 AC 代码，最大 234 ms，无任何故意的卡常，还是比较优秀的。
/*
* @Author: crab-in-the-northeast
* @Date: 2023-07-11 11:17:47
* @Last Modified by: crab-in-the-northeast
* @Last Modified time: 2023-07-11 17:58:41
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
inline int read() {
int x = 0;
bool f = true;
char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch == '-')
f = false;
for (; isdigit(ch); ch = getchar())
x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
return f ? x : (~(x - 1));
}
inline bool gmi(int &a, int b) {
return b < a ? a = b, true : false;
}
const int N = 3005;
int a[N], p[N];
inline int solve() {
int n = read(), k = read();
int ans = n, cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
a[i] = read();
cnt += a[i] > k;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
p[i] = read() * a[i];
for (int x = 1; x <= n; ++x) {
std :: vector <int> cnp((k << 1) + 1), cnm((k << 1) + 1);
// 注意这里一定要开成 k * 2 + 1
// 如果你平移到从 1 开始，那就得开成 k * 2 + 2
int L = std :: max(p[x] - k, 1LL), R = p[x] + k;
auto ins = [&](std :: vector <int>& v, int pos) {
if (pos >= L && pos <= R)
++v[pos - L];
};
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
ins(cnp, p[i]);
int u = (L + a[i] - 1) / a[i] * a[i], v = R / a[i] * a[i];
if (a[i] > k) {
ins(cnm, u);
if (u != v)
ins(cnm, v);
}
}
int c = std :: accumulate(cnp.begin(), cnp.begin() + k + 1, 0LL);
int s = std :: accumulate(cnm.begin(), cnm.begin() + k + 1, 0LL);
for (int l = L, r = l + k; ;) {
if (s == cnt)
gmi(ans, n - c);
++r;
if (r > R)
break;
c += cnp[r - L] - cnp[l - L];
s += cnm[r - L] - cnm[l - L];
++l;
}
}
return ans;
}
signed main() {
int T = read();
while (T--)
printf("%lld\n", solve());
return 0;
}
如果您是从洛谷博客来这里的，觉得这篇题解解决了您的问题，写的不错的话，别忘了回到洛谷题解区，给我题解点个赞！
