CF1542B Plus and Multiply

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$T = \{a^x +yb \text{ } \vert \text{ } x, y \in N\}$ 和 $S$ 相等。

证明：

• $S \subseteq T$：显然有 $1 \in T$。然后有 $(a^x+yb) \times a = a^{x+1} + (ay)b$，$(a^x + yb) + b = a^{x+1} + (y+1)b$。
• $T \subseteq S$：$a^x + yb$ 可以由 $1$ 乘 $x$ 次 $a$ 再加 $y$ 次 $b$ 得到。

因此 $S = T$。

那么问题可以转化为 $n$ 是否可以表示为 $a^x + yb$，其中 $x, y \in N$？

容易发现当 $a \ne 1$ 时，$x$ 的范围很小。枚举 $x$ 即可。然后检验 $y$ 是否为 $n - a^x$ 的因数。

$a = 1$ 时容易特判：只需要检验 $n \bmod b = 1$ 或 $b = 1$ 即可（注意 $X \bmod 1 = 0$）。

单组数据 $\mathcal{O}(\log n)$。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2022-10-14 01:41:35 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2022-10-14 01:52:57
 */

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

inline int read() {
    int x = 0;
    bool flag = true;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-')
            flag = false;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    if(flag)
        return x;
    return ~(x - 1);
}

signed main() {
    int T = read();
    while (T--) {
        int n = read(), a = read(), b = read();
        if (a == 1) {
            if (b == 1 || n % b == 1)
                puts("Yes");
            else
                puts("No");
            continue;
        }

        bool fl = false;
        for (int X = 1; X <= n; X *= a) {
            if ((n - X) % b == 0) {
                fl = true;
                break;
            }
        }

        puts(fl ? "Yes" : "No");
    }
    return 0;
}