[CF1051F] The Shortest Statement
CF1051F The Shortest Statement - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
突破口肯定在 \(m - n \le 20\) 上面，然后图又是联通的，实际上也就是 \(n - 1 \le m \le n + 20\)。
发现 \(m = n - 1\) 的时候，也就是一棵树，做法是显然的 LCA + 树上差分。
题目也就是在树的基础上，可以随便加最多 \(21\) 条边。
那么我们随便在原图 \(G\) 上找一个生成树 \(T\)，不在 \(T\) 上的边就最多有 \(m - n + 1 \le 21\) 条，而在 \(T\) 上任意两点间的最短路径很好处理，我们不妨考虑分类讨论：
\(u\) 到 \(v\) 的最短路径是以下两种最短路径的 \(\min\)：
- 经过的边全部在 \(T\) 上的；
- 经过的至少有一条边在 \(G - T\) 上的。
考虑第二种。
我们当然可以枚举每一条边跑必经这条边的最短路。不过我的实现相较更机智一些（？）。
路径至少有一条边在 \(G - T\) 上，那么这个路径至少经过了 \(G-T\) 的最多 \(21\) 条边的 \(42\) 个端点中的一个（其实不止）。我们考虑将这 \(42\) 个点设为关键点，在询问之前，对于所有关键点 \(x\)，我们以 \(x\) 为源点在 \(G\) 上跑一遍 dijkstra（跑必经边最短路也得需要这个步骤）。
处理询问时，对于一次询问 \((u, v)\)，我们枚举所有关键点 \(x\)，求出 \(\min(d(x, u) + d(x, v))\)，那么第二种最短路就肯定已经被考虑在内了，最后和第一种最短路取 \(\min\) 即可。
其实一开始往必经最短路想也是自然的，实现代码的时候就很容易想到改成这种更好的方法了。
\(\mathcal{O}(k \times m\log m + q \times (\log n + k))\)，其中 \(k = 2(m - n + 1)\)。
/*
* @Author: crab-in-the-northeast
* @Date: 2022-10-02 10:17:28
* @Last Modified by: crab-in-the-northeast
* @Last Modified time: 2022-10-03 01:00:55
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
inline int read() {
int x = 0;
bool flag = true;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) {
if (ch == '-')
flag = false;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch)) {
x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
ch = getchar();
}
if(flag)
return x;
return ~(x - 1);
}
const int maxn = (int)1e5 + 5;
const int maxm = (int)1e5 + 25;
struct edge {
int u, v, w;
}e[maxm];
std :: vector <std :: pair <int, int> > G[maxn], T[maxn]; // 原图 G 生成树 T
int fa[maxn];
inline int find(int x) {
while (x != fa[x])
x = fa[x] = fa[fa[x]];
return x;
}
inline bool uni(int x, int y) {
x = find(x);
y = find(y);
if (x == y)
return false;
fa[x] = y;
return true;
}
std :: vector <int> p; // 特殊点的点集
int dis[52][maxn];
std :: priority_queue <std :: pair <int, int> > q;
inline bool getmin(int &a, int b) {
return b < a ? a = b, true : false;
}
inline void dijkstra(int k, int n) {
int s = p[k];
std :: memset(dis[k], 0x3f, sizeof(dis[k])) ;
dis[k][s] = 0;
q.emplace(0, s);
while (!q.empty()) {
int d = q.top().first, u = q.top().second;
q.pop();
if (d + dis[k][u] != 0)
continue;
for (auto e : G[u]) {
int v = e.first, w = e.second;
if (getmin(dis[k][v], dis[k][u] + w))
q.emplace(-dis[k][v], v);
}
}
}
const int mlgn = 25, lgn = 20;
int fat[maxn][mlgn];
int d[maxn], pr[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
fat[u][0] = fa;
for (int i = 1; i <= lgn; ++i)
fat[u][i] = fat[fat[u][i - 1]][i - 1];
for (auto e : T[u]) {
int v = e.first, w = e.second;
if (v == fa)
continue;
pr[v] = pr[u] + w;
d[v] = d[u] + 1;
dfs(v, u);
}
}
inline int lca(int u, int v) {
if (d[u] < d[v])
u ^= v ^= u ^= v;
for (int i = lgn; ~i; --i)
if (d[fat[u][i]] >= d[v])
u = fat[u][i];
if (u == v)
return u;
for (int i = lgn; ~i; --i) {
if (fat[u][i] != fat[v][i]) {
u = fat[u][i];
v = fat[v][i];
}
}
return fat[u][0];
}
signed main() {
int n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u = read(), v = read(), w = read();
e[i] = (edge){u, v, w};
G[u].emplace_back(v, w);
G[v].emplace_back(u, w);
}
std :: sort(e + 1, e + 1 + m, [](edge a, edge b) {
return a.w < b.w;
});
std :: iota(fa + 1, fa + 1 + n, 1LL);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;
if (uni(u, v)) {
T[u].emplace_back(v, w);
T[v].emplace_back(u, w);
} else {
p.push_back(u);
p.push_back(v);
}
}
dfs(1, 0);
const int pn = p.size();
for (int i = 0; i < pn; ++i)
dijkstra(i, n); // 对所有特殊点在 G 上跑 dijkstra
int q = read();
while (q--) {
int u = read(), v = read();
int ans = pr[u] + pr[v] - (pr[lca(u, v)] << 1); // 第一种最短路
for (int i = 0; i < pn; ++i)
getmin(ans, dis[i][u] + dis[i][v]); // 包含第二种最短路（可能更优）
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
