ARC100E Or Plus Max

ARC100E Or Plus Max

位运算上的比大小问题通常都很难处理，因此一般都是先把这种条件转化。

考虑下面三个集合：

• \(A_K = \{(i, j) \mathop | i \operatorname{or} j \le K \land i \ne j\}\)。
• \(B_K = \{(i, j) \mathop | i, j \subseteq K\land i \ne j\}\)。
  • 这里 \(i \subseteq K\) 的意思，可以用以下四种等价角度理解：
  • \(i \operatorname{bitand} K = i\)。\(\operatorname{bitand}\) 是按位与的意思。
  • 同一个二进制位上，\(i\) 的这一位小于等于 \(K\) 的这一位。
  • 同一个二进制位上，\(K\) 这一位为 \(1\)，则 \(i\) 这一位可以为 \(1\) 或 \(0\)；\(K\) 这一位为 \(0\)，则 \(i\) 这一位只能为 \(0\)。
  • \(i\) 的所有为 \(1\) 的二进制位数集，是 \(K\) 的所有为 \(1\) 的二进制位数集的子集。
• \(C_K = \{(i, j)\mathop | i \operatorname{or} j = K\land i \ne j\}\)。

不难发现 \(C_K \subseteq B_K \subseteq A_K\)，以及 \(A_K = \bigcup\limits_{i=1}^K C_i\)。

不难发现 \(\bigcup\limits_{i=1}^K C_i \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^K B_i\)，而 \(\bigcup\limits_{i=1}^K B_i \subseteq A_K\)。所以，\(A_K = \bigcup \limits_{i = 1}^KB_i\)。唯一不同点在于，原先 \(C_i\) 之间互不相交，而 \(B_i\) 有交。

用语言说明这个转化的正确性：\(B_i\) 包含满足 \(i \operatorname{or} j = K\) 的全部 \((i, j)\)，也不把 \(i \operatorname{or} j >K\) 的 \((i, j)\) 给放进来，所以正确。

为什么要这么转化？两个原因。

【原因一】

原先 \(i \operatorname{or} j \le K\) 或 \(i \operatorname{or} j = K\) 都是一条二元制约关系。

而 \(i, j \subseteq K\) 可以理解为 \(i \subseteq K \land j \subseteq K\)，即两条一元制约关系，会更好处理。

当然一直还有一个二元制约关系是 \(i \ne j\)，不过这个通常也不难处理。

【原因二】

\(i \subseteq K\) 是一个套路性的 sosdp 形式。

不难发现 \(\max\) 是可重复贡献的（即 \(\max(x, x) = x\)），所以上面的并集运算可以直接转 \(\max\)。

假设数对 \((i, j)\) 的权值是 \(a_i + a_j\)，那么要求的答案可以看做 \(\max(A_K) = \max_{i = 1}^K \max(B_i)\)

因此考虑求 \(\max(B_k) = \max\{a_i + a_j \mathop | i, j \subseteq k\}\)。

不难发现，我们只需要维护满足 \(i \subseteq k\) 的 \(a_i\) 的最大值和次大值分别作为 \(a_i\) 和 \(a_j\)，就能让和取到最大值。

而最大值和次大值与和一样，可以方便地合并。这题做完了。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2023-04-17 10:20:23 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2023-04-17 11:06:28
 */
#include <bits/stdc++.h>
inline int read() {
    int x = 0;
    bool f = true;
    char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        if (ch == '-')
            f = false;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    return f ? x : (~(x - 1));
}
inline bool gmx(int &a, int b) {
    return b > a ? a = b, true : false;
}

const int maxn = 19;
std :: vector <int> f[1 << maxn];

int main() {
    int n = read();
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++i)
        f[i].push_back(read());
    
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
            if (i & (1 << j)) {
                int lst = i ^ (1 << j);
                for (int x : f[lst])
                    f[i].push_back(x);
                std :: sort(f[i].begin(), f[i].end(), std :: greater <int> ());
                while (f[i].size() > 2)
                    f[i].pop_back();
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int K = 1; K < (1 << n); ++K) {
        gmx(ans, f[K][0] + f[K][1]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}