ARC100E Or Plus Max

ARC100E Or Plus Max

位运算上的比大小问题通常都很难处理，因此一般都是先把这种条件转化。

考虑下面三个集合：

• $A_K = \{(i, j) \mathop | i \operatorname{or} j \le K \land i \ne j\}$。
• $B_K = \{(i, j) \mathop | i, j \subseteq K\land i \ne j\}$。
  • 这里 $i \subseteq K$ 的意思，可以用以下四种等价角度理解：
  • $i \operatorname{bitand} K = i$。$\operatorname{bitand}$ 是按位与的意思。
  • 同一个二进制位上，$i$ 的这一位小于等于 $K$ 的这一位。
  • 同一个二进制位上，$K$ 这一位为 $1$，则 $i$ 这一位可以为 $1$ 或 $0$；$K$ 这一位为 $0$，则 $i$ 这一位只能为 $0$。
  • $i$ 的所有为 $1$ 的二进制位数集，是 $K$ 的所有为 $1$ 的二进制位数集的子集。
• $C_K = \{(i, j)\mathop | i \operatorname{or} j = K\land i \ne j\}$。

不难发现 $C_K \subseteq B_K \subseteq A_K$，以及 $A_K = \bigcup\limits_{i=1}^K C_i$。

不难发现 $\bigcup\limits_{i=1}^K C_i \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^K B_i$，而 $\bigcup\limits_{i=1}^K B_i \subseteq A_K$。所以，$A_K = \bigcup \limits_{i = 1}^KB_i$。唯一不同点在于，原先 $C_i$ 之间互不相交，而 $B_i$ 有交。

用语言说明这个转化的正确性：$B_i$ 包含满足 $i \operatorname{or} j = K$ 的全部 $(i, j)$，也不把 $i \operatorname{or} j >K$ 的 $(i, j)$ 给放进来，所以正确。

为什么要这么转化？两个原因。

【原因一】

原先 $i \operatorname{or} j \le K$ 或 $i \operatorname{or} j = K$ 都是一条二元制约关系。

而 $i, j \subseteq K$ 可以理解为 $i \subseteq K \land j \subseteq K$，即两条一元制约关系，会更好处理。

当然一直还有一个二元制约关系是 $i \ne j$，不过这个通常也不难处理。

【原因二】

$i \subseteq K$ 是一个套路性的 sosdp 形式。

不难发现 $\max$ 是可重复贡献的（即 $\max(x, x) = x$），所以上面的并集运算可以直接转 $\max$。

假设数对 $(i, j)$ 的权值是 $a_i + a_j$，那么要求的答案可以看做 $\max(A_K) = \max_{i = 1}^K \max(B_i)$

因此考虑求 $\max(B_k) = \max\{a_i + a_j \mathop | i, j \subseteq k\}$。

不难发现，我们只需要维护满足 $i \subseteq k$ 的 $a_i$ 的最大值和次大值分别作为 $a_i$ 和 $a_j$，就能让和取到最大值。

而最大值和次大值与和一样，可以方便地合并。这题做完了。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2023-04-17 10:20:23 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2023-04-17 11:06:28
 */
#include <bits/stdc++.h>
inline int read() {
    int x = 0;
    bool f = true;
    char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        if (ch == '-')
            f = false;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    return f ? x : (~(x - 1));
}
inline bool gmx(int &a, int b) {
    return b > a ? a = b, true : false;
}

const int maxn = 19;
std :: vector <int> f[1 << maxn];

int main() {
    int n = read();
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++i)
        f[i].push_back(read());
    
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
            if (i & (1 << j)) {
                int lst = i ^ (1 << j);
                for (int x : f[lst])
                    f[i].push_back(x);
                std :: sort(f[i].begin(), f[i].end(), std :: greater <int> ());
                while (f[i].size() > 2)
                    f[i].pop_back();
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int K = 1; K < (1 << n); ++K) {
        gmx(ans, f[K][0] + f[K][1]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}