AGC12C Tautonym Puzzle

AGC012C Tautonym Puzzle

考虑在 $A$ 的前 $100$ 位递增地填上 $1 \to 100$。

如果我们限制 $A$ 的后 $100$ 位里，$1 \sim 100$ 每个数最多出现一次。后 $100$ 位可以不填满。

那么 $A$ 中好的子序列数量，就是后 $100$ 位里严格上升子序列的数量。

问题转化成：构造一个序列 $B$：

• $1 \sim 100$ 每个数最多出现一次。
• 严格上升子序列数等于 $N$。

构造方式如下：

枚举 $x$ 从 $1 \to 100$，将 $x$ 插入 $B$ 中。

将 $x$ 插入 $B$ 的后侧，会让 $B$ 的严格上升子序列数 $\times 2$。

将 $x$ 插入 $B$ 的前侧，会让 $B$ 的严格上升子序列数 $+1$。

将 $N$ 二进制拆分即可。上面的 $x$ 最多运行到 $2\log N$ 就能构造成功了。

构造出来的 $B$ 长度 $2\log N$，对应 $A$ 的长度 $100 + 2\log N$。

如果最开始的时候只将这 $2\log N$ 个数递增地放在 $A$ 的最开始，可以做到串长 $4\log N$。

构造时间复杂度 $\Theta(\log N)$。