0-1 bfs 学习笔记

0-1 bfs 是一种可以在 $\mathcal{O}(n + m)$ 时间求解只含有 $0$，$1$ 两种边权的单源最短路的算法。这种情形下效率比 dijkstra 更高，和 dijkstra 一样好写（甚至更好写一点）。

我们知道边权仅为 $1$ 的最短路（可以看做无权图最短路）可以通过纯 bfs 使用 $\mathcal{O}(n + m)$ 解决，而 dijkstra 是 $\mathcal{O}((m+n) \log n)$ 的，我从这里引入。

dijkstra 之所以有个 $\log n$ 就是因为取距离最小的点时存在瓶颈，那么为什么 bfs 只需要取队头呢？因为有了边权仅为 $1$ 的特性，因此无论什么时候，队头到队尾，对应的距离都是单调不降的。

为了方便叙述，我们将 bfs 中队列里的每个元素（代表节点编号）$u$ 都替换为 $d_u$ 后的序列记作 $q$，$q$ 的开头对应原队列开头。

比如 bfs 中队列 $(2, 4, 3)$，那么我们的 $q$ 会表示为 $(d_2, d_4, d_3)$。因图而异，这个 $q$ 可能是 $(0, 1, 1)$，也有可能是 $(2, 3, 3)$……

在无权图最短路中我们每次只会把 $q$ 的开头 $D$ pop 掉，然后把若干个（可能没有）$D + 1$ push 到队列的尾部，那么显然当 $q$ 初始为 $(0)$ 时，这样操作一定可以恒定使得 $q$ 单调不降，并且事实上，任何时刻上 $q$ 一定可以表示成 $D, D, \cdots, D,D+1, D+1, \cdots, D+1$ 的形式，也就是先一段 $D$ 后一段 $D+1$ 的形式（可以全都是 $D$ 或 $D +1$）。不信你试试看。

但是在 0-1 bfs 中，我们把 $D$ pop 掉之后，push 进去的点有两种情况：$D$ 和 $D+1$。如果我们直接 push 到尾部会破坏单调性。会出现类似于 $D, D, D + 1, D, D + 1$ 这种支离破碎的情况……怎么办呢？

0-1 bfs 的精髓就来了：

• 把队头 $u$ 弹出，遍历 $u$ 连向的所有节点 $v$（$D = d_u$）；
• 尝试松弛 $v$，如果成功：
  • 如果 $u \to v$ 边权为 $1$，那么把 $v$ push 到队尾（把 $D + 1$ 放到 $q$ 的尾部）；
  • 如果 $u \to v$ 边权为 $0$，那么把 $v$ push 到队头（把 $D$ 放在 $q$ 的头部）。

这样处理后 $q$ 仍然可以时刻表示成 $D, D, \cdots, D,D+1, D+1, \cdots, D+1$ 的形式。原因也是显然的。

另外，为了保证 dijkstra 每个点只会入队和出队一次，我们需要 vis 数组和松弛操作并用；

而无权最短路 bfs 可以把 vis 数组和松弛操作随便丢一个。

这个想想就知道，无权 bfs 是一层一层往下推，节点 $u$ 第一次被搜索到的深度就是它的最短路，因此后面再访问 $u$ 不再需要进行任何操作。

但是 0-1 bfs，我们举个例子，有一张图由以下两部分构成：

• $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 6$，权值均为 $0$；
• $1 \to 6$，权值为 $1$。

我们会先从 $1$ 拓展到 $2$ 和 $6$，$d_6$ 会先被写上 $1$（假的），后面才能从 $5$ 搜索到 $6$ 从而使 $d_6 = 0$，这个修改 $d_6$ 的操作需要松弛。所以松弛不能丢。

但是 0-1 bfs 直接丢掉 vis 数组是可以的。我们假设当前节点为 $u$，正在遍历出边 $(u, v, w \in \{0, 1\})$：

• 当 $w = 0$ 时显然 $d_v = d_u$ 就是 $v$ 确定的最短路了；
• 当 $w = 1$ 时，$d_v$ 会被标记成 $d_u + 1$，那么 $d_v$ 实际的最短路可能是 $d_u + 1$ 也有可能是 $d_u$（显然只有这两种情况），因此 $v$ 后面可能又会被重新松弛为 $d_u$ 一次，而且也就最多这一次了。

所以一个点最多被入队两次，时间复杂度可以接受。所以不需要 vis 数组~

由于 0-1 bfs 中需要给队列的两端 push，需要使用到双端队列，因此也叫双端队列 bfs 和 dqbfs（？）。

代码就不上了。