目录如下:
1. 推导一维杆的热传导方程:从微分及积分角度分别进行了推导
2. 初值和边界条件:初值是与时间相关、边值与空间相关
3. 二维及三维热传导方程推导:从积分角度推导,得到泊松方程和拉普拉斯方程
4. 拉普拉斯算子的各种形式:在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下推导拉普拉斯算子形式
偏微分方程(PDE)就是指含有偏导数的数学方程。
本书从物理问题开始研究偏微分方程,便于读者与实际结合。首先讲解的是热传导方程:
1. 推导一维杆的热传导方程
讲解了两种方式:微分的观念,从一个小的薄片的能量守恒推导,通过取极限的方式得到热传导方程
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153149390-1758556152.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153149765-1309029971.jpg)
另外一种,从积分角度考虑,利用积分基本定理,这种方式更加精确,避免了极限过程的近似计算。
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153150405-1594694318.jpg)
2. 初值和边界条件:
关于时间变量的称为初值条件,是时间变量的几阶导数就要几个初值条件。
关于空间变量的称为边界条件。
边界条件有三类:
给定温度
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153150687-822816479.png)
给定温度变化率 ![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153151140-2011957809.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153151140-2011957809.jpg)
给定温度温度变化率与分布的函数关系![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153151374-1584559000.png)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153151374-1584559000.png)
3. 二维及三维热传导方程推导
从积分角度进行推导,根据能量守恒
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153151765-973482105.png)
根据高斯定理,把曲面积分转换为三重积分,整理上式得到:(注意把时间作为偏导数放入积分中)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153152374-1696941853.jpg)
因此:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153152733-787812895.png)
又根据傅里叶导热定律:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153152983-1863289387.png)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153153624-1259647172.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153154218-178112749.jpg)
稳态:如果边界条件和热源都与时间无关,在恒定热性质的情形,平衡温度分布将满足:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153154499-1850889408.jpg)
该方程称为泊松方程。
如果热源不存在,泊松方程变为:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153154921-80407906.png)
即温度分布的拉普拉斯算子是零,因此称为拉普拉斯方程。
二维方程的推导与三维一致,只是使用面积分代替体积分,使用格林公式代替高斯公式。
4. 拉普拉斯算子的各种形式
在直角坐标系下:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153155171-833933858.jpg)
在柱面坐标系下有:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153155515-1993975795.jpg)
下面证明在柱面坐标系下的拉普拉斯公式:
考虑二维下的柱面坐标,即极坐标:
可以证明:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153155874-171442711.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153156749-1354485501.jpg)
利用链式法则:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153156999-1720697780.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153157546-2110170552.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153157905-860846225.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153158765-1150875979.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153159218-378221974.jpg)
以上可以得到柱坐标下的拉普拉斯算子公式:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153159577-1474818436.png)
在这个公式中,需要注意的是:在拉普拉斯算子中的每一项都有u的量纲被两个空间量纲除。因为角度是用弧度测量的,没有
量纲,因此,对角度的微分需要除以半径的平方。
通过以上思路可以证明球坐标的公式:
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153200077-1323563631.jpg)
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1230458/201709/1230458-20170901153200343-1427567144.png)
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