背包问题(动态规划)
动态规划算法
1）动态规划算法介绍
动态规划算法核心思想：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
动态规划算法与分治算法类似，将待求解的问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解的到原问题的解。
与分治法不同的是，适合用动态规划求解点问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。（下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
应用场景-背包问题
2）背包问题主要指一个给定容量的背包，和具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包的价值最大，其中分为01背包(每种物品只能放一个)和完全背包(每种物品都有无限件可用)。
3）解决思路：
利用动态规划解决，每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和val[i]来确定是否需要将该物品放入背包中，即对于给定的n个物品，设val[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，j为背包的容量，\(v[i][j]\)表示前i个物品在背包容量为j时获得的最大价值。
解法归纳：
一、如果装不下当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样。
二、如果装得下当前物品
假设1：装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值的总价值。
假设2：不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。
选取假设1 和 假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值。
当动态规划表以走完之后，要找到放入了那些物品使得容量最大的方法：
从表的右下角开始回溯，如果发现前n个物品最佳组合的价值和前n-1个物品的最佳组合价值一样，说明第i个物品没有装入。否则第i个物品被装入了。
总结公式：
1） $w[i] > j \(时，\)v[i][j] = v[i-1][j]$; 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包容量时，就直接使用上一单元格的装入策略。
2）当\(w[i] >= j\)时,\(v[i][j] = max(v[i-1][j], val[i] + v[i-1][j-w[i]]\));当准备加入新增的商品的容量大小于等于当前背包容量时。
当值为\(v[i-1][j]\) 表示未装入当前物品时获得最大价值。
当值为\(val[i] + v[i-1][j - w[i]]\) 表示第i个物品的价值 加上 前i-1个物品的最佳组合的价值(剩余背包容量的最大价值)。\(j - w[i]\) : 剩余背包容量。
代码：
package com.ll.dynamic;
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3}; // 物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000}; // 每件物品对应的价格
int m = 4; //背包的容量
zeroOnePack(val, w, m);
}
/**
* 01背包
* @param val 商品的价格
* @param w 商品的重量
* @param m 背包的容量
*/
public static void zeroOnePack(int[] val, int[] w, int m) {
int n = val.length; //商品的个数
//创建动态规划表格
int[][] v = new int[n+1][m+1];
/**
* 如v[i][j]，表示前i个物品在背包容量为j的情况下获得的最大价值
* 第一行和第一列都为0，所以从1开始
* 原因： 当i等于0时，即物品重量为0，不管背包容量为多少，价值都为0；
* 当j等于0时，即背包容量为0，不管重量为多少的商品，价值也都为0；
*/
for (int i=1; i < v.length; i++) {
for (int j=1; j<v[0].length; j++) {
// 如果当前物品的重量 大于 背包容量
if (w[i-1] > j) {
// 则当前最大价值前i - 1个物品价值一样
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
// ① 前i-1个组合的价值
// ② 当前物品的价值 + 前i-1个物品在背包剩余容量(当前背包容量 - 当前物品的重量)下的最大价值
// 比较①和②，选择最大的价值
v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j - w[i-1]]);
}
}
}
// 则容量为m的背包获得的最大价值
int maxValue = v[n][m];
System.out.println("最大价值：" + maxValue);
// 逆推出装入背包的所有商品的编号
int j = m;
for (int i = n; i > 0; i--) {
if (v[i][j] > v[i-1][j]) {
System.out.println("第" + i + "物品放入背包");
j = j - w[i - 1];
}
if (j == 0) {
break;
}
}
for (int i=0; i<v.length; i++) {
for (int l=0; l<v[0].length; l++) {
System.out.print(v[i][l] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
