【题解】矩形分割(二分)
题干
平面上有一个大矩形,其左下角坐标(0,0),右上角坐标(R,R)。大矩形内部包含一些小矩形,小矩形都平行于坐标轴且互不重叠。所有矩形的顶点都是整点。要求画一根平行于y轴的直线x=k(k是整数) ,使得这些小矩形落在直线左边的面积必须大于等于落在右边的面积,且两边面积之差最小。并且,要使得大矩形在直线左边的的面积尽可能大。注意:若直线穿过一个小矩形,将会把它切成两个部分,分属左右两侧。
输入格式
第一行是整数R,表示大矩形的右上角坐标是(R,R) (1 <= R <= 1,000,000)。
接下来的一行是整数N,表示一共有N个小矩形(0 < N <= 10000)。
再接下来有N 行。每行有4个整数,L,T, W 和 H, 表示有一个小矩形的左上角坐标是(L,T),宽度是W,高度是H (0<=L,T <= R, 0 < W,H <= R). 小矩形不会有位于大矩形之外的部分。
在讲这道题之前,复习一下二分写法:
或这样:
这个写法好处在于不用特判,l就是答案,强烈推荐
题解
先读题干,有以下信息:
- S左 >= S右,要使S左 - S右 最小,且尽量靠右
- 怎么算分割线下的差值,其实就是循环对每个矩形进行计算即可
那么用什么作为标准二分呢?怎么用二分做!
二分适用于一段单调序列,如果我们计算每个分割线下的左右差值,应该是这样:
这不符合二分,但是可以考虑用三分,找到最接近0的位置(相同则尽量靠右),若此时S左>=S右,直接输出答案;若S左<S右,那么下一个一定满足S左>S右,就是答案!(注意若再下一个也是最小,则选择再下一个数)因为假设下一个S左仍<S右,那最接近0的位置就是它了,矛盾。
然而遗憾的是:这个函数有很多值相等,我们不知道是位于同侧还是位于异侧,无法确定范围,所以三分不可行。
思路二:我们用S左-S右作关键字,发现S左-S右是从左往右单调不严格递增!
进一步,定义一个函数计算f(n)=S左-S右,n是分割线位置,我们取的是f(n)>= 0且最小的那个值
注意:在满足最小的情况下尽量靠右!
核心代码:
然而这种二分到最后可能会卡死,自己想!
伪代码:
Accepted!
__EOF__
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