【题解】矩形分割(二分)

题干

平面上有一个大矩形,其左下角坐标(0,0),右上角坐标(R,R)。大矩形内部包含一些小矩形,小矩形都平行于坐标轴且互不重叠。所有矩形的顶点都是整点。要求画一根平行于y轴的直线x=k(k是整数) ,使得这些小矩形落在直线左边的面积必须大于等于落在右边的面积,且两边面积之差最小。并且,要使得大矩形在直线左边的的面积尽可能大。注意:若直线穿过一个小矩形,将会把它切成两个部分,分属左右两侧。

输入格式

第一行是整数R,表示大矩形的右上角坐标是(R,R) (1 <= R <= 1,000,000)。

接下来的一行是整数N,表示一共有N个小矩形(0 < N <= 10000)。

再接下来有N 行。每行有4个整数,L,T, W 和 H, 表示有一个小矩形的左上角坐标是(L,T),宽度是W,高度是H (0<=L,T <= R, 0 < W,H <= R). 小矩形不会有位于大矩形之外的部分。

在讲这道题之前,复习一下二分写法:

while(l < r) { int mid = (l + r + 1) >> 1; if(check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; }

或这样:

while(l < r) { int mid = (l + r) >> 1; if(check(mid)) r = mid; else l = mid + 1; }

这个写法好处在于不用特判,l就是答案,强烈推荐

题解

先读题干,有以下信息:

  1. S左 >= S右,要使S左 - S右 最小,且尽量靠右
  2. 怎么算分割线下的差值,其实就是循环对每个矩形进行计算即可

那么用什么作为标准二分呢?怎么用二分做!

二分适用于一段单调序列,如果我们计算每个分割线下的左右差值,应该是这样:

这不符合二分,但是可以考虑用三分,找到最接近0的位置(相同则尽量靠右),若此时S左>=S右,直接输出答案;若S左<S右,那么下一个一定满足S左>S右,就是答案!(注意若再下一个也是最小,则选择再下一个数)因为假设下一个S左仍<S右,那最接近0的位置就是它了,矛盾。

然而遗憾的是:这个函数有很多值相等,我们不知道是位于同侧还是位于异侧,无法确定范围,所以三分不可行。

思路二:我们用S左-S右作关键字,发现S左-S右是从左往右单调不严格递增!

进一步,定义一个函数计算f(n)=S左-S右,n是分割线位置,我们取的是f(n)>= 0且最小的那个值

注意:在满足最小的情况下尽量靠右!

核心代码:

while(l<r) { ll mid=(l+r)/2; if(check(mid)<0) l=mid+1; else if(check(mid)==0) l=mid; else r=mid; }

然而这种二分到最后可能会卡死,自己想!

伪代码:

struct jx{ 无; } int/bool check() { return sum1-sum2; } int main() { for(int i=1;i<=n;i++) { 初始化; } 二分; 输出; }

Accepted!

//二分 #include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int MAXN=1e5+5; ll R,n,L,T,W,H,ans,sum; struct jx{ ll head,tail,k,len; }a[MAXN]; ll check(ll x) { ll sum1=0,sum2=0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(a[i].tail<=x) { sum1+=a[i].len*a[i].k; } else if(a[i].tail>=x&&a[i].head<=x) { sum1+=(x-a[i].head)*a[i].k; sum2+=(a[i].tail-x)*a[i].k; } else if(a[i].head>=x) { sum2+=a[i].len*a[i].k; } } return sum1-sum2; } int main() { scanf("%lld%lld",&R,&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&T,&W,&H); a[i].head=L,a[i].tail=L+W,a[i].k=H,a[i].len=W; sum=max(sum,a[i].tail); } ll l=0,r=sum; while(l+1<r) { ll mid=(l+r)/2; if(check(mid)<0) l=mid+1; else if(check(mid)==0) l=mid; else r=mid; } if(check(l)>=0&&check(l)<check(r)) ans=l; else ans=r; printf("%lld",ans); }

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本文作者仰望星空的蚂蚁
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