【总结】异或

「MtOI2019」永夜的报应

辉夜手里有$\mathrm{n}$个非负整数 $\mathrm{a}$_1, $\mathrm{a}$_{2, ……}$\mathrm{a}$_n;

由于辉夜去打 Gal Game 去了，她希望智慧的你来帮忙。

• 你需要将这些数分成若干组，满足$\mathrm{n}$个数中的每一个数都恰好被分到了一个组中，且每一组至少包含一个数。

定义一组数的权值为该组内所有数的异或和。请求出一种分组方案，使得分出的所有组数的权值之和最小，输出权值之和的最小值。

分析：
我们知道^为异或运算，而异或运算有一个性质：

a^b<=a+b

所以无论怎样分，结果是肯定不大于全部异或的值。

#include<cstdio>
int n,x,ans;
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&x);
		ans^=x;
	}
	printf("%d",ans);
}

---

资料：

题目1：

一个整型数组里除了1个数字出现 奇数次 外，其他数字都出现 偶数次 ，请找出 只出现奇数次的 这个数。

要求： 时间复杂度 O(n) ，空间复杂度 O(1)。

解题思路：

1、我们知道 2个相同的数异或的结果为0， 所以我们将这n个数从头到尾 异或一遍得到结果x

2、于是乎，我们便得到了结果……

题目2：

一个整型数组里除了两个数字出现 奇数次 外，其他数字都出现 偶数次 ，请找出 只出现奇数次的 这两个数。

要求： 时间复杂度 O(n) ，空间复杂度 O(1)。

解题思路：

根据题目1，我们可以想到，能不能将这两个数分开呢……

1、我们将这n个数从头到尾 异或一遍得到结果x

2、根据x的二进制表示中不为1的某一位，位置为y，然后将这n个数分成两类：y位置为1和y位置为0

3、将这两类数分别异或得到两个数a和b，便是我们所要求得结果

• 首先出现奇数次的这两个数可定时不想等的，

• 所以两个出现奇数次的数在y位置上的二进制表示肯定是不同的，

• 否则y位置的结果不可能为1。

• 这样便将这两个数分开了。

• 又因为，每一类数中的其他数异或之后肯定为0，

• 所以，便得到结果啦……

题目3：

给你1到n这n个数，无序，现将其中一个数x改变成y，找出这两个数

要求： 时间复杂度 O(n) ，空间复杂度 O(1)。

解题思路：

刚开始想排序，不过O(n)的复杂度，很难(⊙o⊙)哦 ，根据上一题，可以这么考虑：
相当于我们有了两个数组，题目中所给的一个和从1到n这个有序的数组，然后就跟上一题一样_(≧▽≦)/啦啦啦

1、求出1到n的异或值x

2、继续将x与题目中所给的所有数值异或，得到新的x

3、根据x的二进制表示中不为1的某一位置y，然后将这n*2个数分成两：y位置为1和y位置为0

4、将这两类数分别异或得到两个数a和b，便是我们所要求得结果

---

问题：求1到n这n个整数间的异或值，即 1 xor 2 xor 3 … xor n
定理：

f(1, n) = f(0, n) =

n ： n % 4 == 0

1 ： n % 4 == 1

n +1 ： n % 4 == 2

0 ： n % 4 == 3

可以用数学归纳法予以证明

#include<cstdio>
int n,tot;
int main() {
	for(int n=2;n<=100;n++) {
		int t = n & 3;
		//取出整数n在二进制表示下的第0~k-1位：n & ( ( 1 << k ) - 1 ) 
        if (t & 1) tot= (t / 2) ^ 1;
        else tot= (t / 2) ^ n;
        printf("%d:%d\n",n,tot);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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