【题解】括号树

solution:

本题是个树上问题，但我们不妨从线性状态上去考虑。这题就是一道区间dp了。

问题：给定字符串S，求有多少合法括号子串？

()()(())

设$f[i]$表示前$i$个的合法子串个数，$g[i]$表示以$i$结尾的合法字符串个数。

考虑如下转移：

$$g[i]=g[k]+1$$

$$f[i]=f[i-1]+g[i]$$

其中$[k+1,i]$为合法子串。

例如，上图中，$[5,8]$即$(())$为合法子串，所以$g[8]=g[4]+1=3$，$f[8]=f[7]+g[8]=3+3=6$

上述过程可以用栈模拟。时间复杂度是$O(n)$

如何扩展到树上呢？我们知道，$dfs$是有回溯操作的，即一个分支结束后可以回到原始状态。这就很巧妙了，我们只需要用一个栈模拟回溯操作就行了。这样就得到了点到根的原括号序列$S$。$O(1)$转移，时间复杂度$O(n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+5;
char s[N];
int n,fa[N],ans;
int sta[N],Top,f[N],g[N];
vector<int> son[N];
void dfs(int x) {
	if(s[x]=='(') {
		sta[++Top]=x;
		f[x]=f[fa[x]];
		g[x]=0;
		for(int i=0;i<son[x].size();i++) {
			int y=son[x][i];
			dfs(y);
		}
		Top--;
	}
	else if(Top>0){
		int t=sta[Top--];
		g[x]=g[fa[t]]+1;
		f[x]=f[fa[x]]+g[x];
		for(int i=0;i<son[x].size();i++) {
			int y=son[x][i];
			dfs(y);
		}
		sta[++Top]=t;
	}
	else {
		f[x]=f[fa[x]];
		g[x]=0;
		for(int i=0;i<son[x].size();i++) {
			int y=son[x][i];
			dfs(y);
		}
	}
	ans^=(f[x]*x);
}
signed main() {
	scanf("%lld",&n);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&fa[i]);
		son[fa[i]].push_back(i);
	}
	dfs(1);
	printf("%lld",ans);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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