【模板】线段树合并

这是线段树的最后一个知识点啦，终于不用继续练码量超大的线段树了，因为笔者已经掌握了~

例题：n只奶牛构成了一个树形的公司，每个奶牛有一个能力值pi，1号奶牛为树根。
问对于每个奶牛来说，它的子树中有几个能力值比它大的。

solution:
做法是每个点开一棵线段树，插入这个结点上的数,根节点就为这个点的序号。如果能把一个结点的线段树的信息在合理的时间内全部插入（或者说「合并」）到它父亲的线段树中，就可以由下往上做一遍树上递推，这样每个结点的线段树都存储的是整棵子树的信息了。

先放代码吧：

int merge(int p,int q,int l,int r) {
	if(!p) return q;
	if(!q) return p;
	if(l==r) {
		t[p].sum+=t[q].sum;
		return p;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	t[p].lson=merge(t[p].lson,t[q].lson,l,mid);
	t[p].rson=merge(t[p].rson,t[q].rson,mid+1,r);
//	t[p].sum=t[t[p].lson].sum+t[t[p].rson].sum;
    t[p].sum+=t[q].sum;
    //they are the same
	return p;
}

这个代码还是相当好理解的，无需赘述。下面来证明一下复杂度。（我想了一中午终于想出一个超简洁的证明 —— 本来以为会很复杂的）

从代码中可以看出合并两棵树的复杂度约等于这两棵树 重合 的结点数。假如初始所有的线段树点数总和为 $N$ 。因为只要合并两个节点，节点总个数就会少掉一个，所以复杂度应该是 $O(N)$ 的。

所以不是所有情况下的线段树合并都是 $O(nlogn)$ 的。

一般情况下我们只会对每个节点开动态开一条链，所以 $N=nlogn$ ，复杂度才会是 $O(nlogn)$ 。

哇怎么这么短就写完了 ……

update:「abc183F」Confluence
题意：n个人，每个人属于一个班级ci，这些人会有些小团体（并查集）

两种操作：

1 a b，将a所在的集体和b所在的集体合并

2 x y，问在x的集体中有多少人在y班

第一种做法启发式合并，每次将点数较少的接到点数较多的上面。具体可以用$map$之类的$STL$来存集合。

第二种方法是线段树合并。我们把一个点所含的种类 $[1,2e5]$ 看成一个树的结构，时间复杂度是严格 $O(nlogn)$ 的。

这个想法很妙。我们把一个线性的单点合并放到动态开点线段树上，这样每次合并一个点都删除了一个点，保证了算法的高效。

第二种算法的时间复杂度显然是优于第一种的，第一种做法只能“单个搬运”，导致合并代价是不稳定的。而第二种则把若干子树进行“整体搬运”，我们也通过理论证明了它时间上界和优秀的搬运性质（我们发现它在整个合并过程中没有新建点）。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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