【总结】cdq分治

Part 1.

拦截导弹

首先考虑用 cdq分治 求解 LIS。$i$ 对 $j$ 的贡献可以看做 $d{p}_j=max(d{p}_j,d{p}_i+1)$ 。这样的话可以考虑先求解 $cdq(1,mid)$ ，再计算跨区间的贡献，最后计算 $cdq(mid+1,r)$ 。归并排序维护数值的有序性，注意到左半区间是有序的，而右半区间是无序的，如果将右半区间排序的话，就分不清到底是左边贡献右边还是右边贡献左边了。所以要对左右区间分别排序。准确地说，只需要临时将右区间排序。

然后本题的式子是 $f_j=max(f_j,f_i+1)$ ，$g_j=\sum g_i(f_j=f_i+1)$

可以正着倒着跑一遍，这样每一个点的方案数为 $g_{i}g{2}_i$ ，总方案数为 $\sum g_i(f_i=tot)$ ，注意这里不能是 $\sum g_{i}g{2}_i(f_i+f{2}_i-1=tot)$ ，因为计算的是单个点出现时的方案数，显然会算重。

然后左右区间排序时要用 $tmp$ 临时数组，存一下下标，再还原回去。因为此时 $cdq(mid+1,r)$ 还没有处理，会打乱第一维的顺序。

当然下面这道题是可以直接将 $query$ 数组排序的，因为左右子区间已经处理完了，可以合并成新的无序区间。

动态逆序对

话说这道题用二维树状数组不是很显然吗。时间复杂度 $O(nlo{g}^{2}n)$。

然后 $cdq$ 分治会保证 $a$ 单调递增，内部用一维树状数组维护，再加上时间戳的限制，大概也差不多。

总的来说，就是把序列删掉后剩下的数当成修改操作加进去，每次操作就拆分成一次查询和一次修改。

然后这里注意一个事实，就是修改操作必须先计算出增加它后的贡献，再算给查询操作，所以计算修改还是单点对单点，贡献为1，只不过多加了计算全局贡献的查询操作，用 $sum$ 维护一下就行了。

注意到一个细节问题，那就是查询操作没有实际意义，无法比较大小，那么每次归并时应该放在最前面。

然后发现一个问题，就是这里元素的贡献是有序对，也就是说第一维必须严格按照 $a$ 的递减排序，这里时间戳的顺序是不成立的。

那么问题来了，每次修改的元素是无序的呀，可能前面的数更新它，总不能重新给它插入一个合适的位置吧。

然后我们发现如果计算两次逆序对，那么恰好会被计算一次。

然后你发现查询操作查询操作比较麻烦，因为修改操作的贡献在改变，你不知道什么时候累加了修改操作的贡献。

所以把前一部分做出来就行了，后一部分直接 $cdq$ 分治后算一个前缀和即可。

然后就是本题给的是个排列，删除的是元素值。

总结

$cdq$ 分治没有固定的写法，要看应用在怎样的背景中，多动动脑就想明白了。

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Part 2.

[NOI2007] 货币兑换

$$A_{k}y+B_{k}x=IP$$

$$y=Rat{e}_x$$

$$x=\frac{IP}{A_{k}Rat{e}_k+B_k},y=\frac{IP\ast Rat{e}_k}{A_{K}Rat{e}_k+B_k}$$

$$d{p}_i=d{p}_j+y{A}_i+x{B}_i=d{p}_j+B_i(x+y\frac{A_i}{B_i})$$

这不就是一个斜率优化嘛。考虑用李超线段树怎么做，我们知道李超树用于查询 $x=k$ 时的线段上的最值。右边式子恰好是 $y=ax+b$ 的形式，取 $x=\frac{A_i}{B_i}$ 即可。

城市建设

必须辅助数据结构维护一些东西。

我们把这张图划分成两个部分，动态边 和 静态边。

如果 $cdq$ 考虑 $(l,r)$ 这一段操作序列，那么 $l$, $r$ 内操作涉及的边就称为动态边，这张图其余的边被称为静态边。

很冒险，但是很宏大。

我们考虑简化静态边集合。将不会出现的边从静态边集中删去，将一定会出现的边在静态边集中缩点。（话说有毛用？一头雾水。）

1. 如果把区间内的边全部修改为 -inf ，做mst，树上的其他边就是必须选的。（换句话说，动态边就只有r-l个，你静态边缩点出来的点的个数必须比它小，你静态边连出来的联通块可以看成一个点）
2. 如果把区间内的边全部修改为 inf，做mst，非树上的其他边就是必定不选的。（换句话说，能用的静态边最多也只有r-l个）

这一步保证了 $|V|,|E|=O(r-l)$ 。

我们发现，会有一些动态边变为静态边，最后变成了一个纯静态的 $kruskal$ 。

边界条件：l==r或n=1。

注意，$cdq$ 并没有脱离整体而存在，实际上它的研究整体依然是整个边集，这一点可以从暴力传参看出。

比较恶心的一点是缩点过后的序号和边并不对应，所以事实上我们要将并查集保留下来。然后最tm坑的是因为我们在子区间中都是操作的并查集的根，所以事先要把 所有边 的两个端点和根连起来，但不是真正赋值（我说了只能是利用并查集，不能改变自身）。然后tm并查集是可撤销的，在做完左区间回来时，只用把代表的爸爸变回自己即可。

第三遍重构了。。。

我tm不知道这个题为什么不能打路径压缩，哦对了，所有带撤销的并查集都不能这么干（如线段树分治），因为会造成父子信息的丢失。注意 带撤销的并查集不等于可持久化并查集。

总结

$cdq$ 分治的思想博大精深，可以是将动态问题转化成静态问题，也可以是基于分治时间戳的玄学算法，总之目的在于将每次问题求解的规模控制在 $O(r-l)$ ，这样很多不合理的暴力算法就变得可能了。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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