【水向】Atcoder杂题

[AGC005C] Tree Restoring

已经意识到了我很可能做不出来这道题。。。

选择路径最短的节点作为根节点。 $c_u$ 表示整棵树的深度。

注意到这样一个性质：从 $x$ 出发的最长路径 $x->y$ ，$y$ 一定是树的直径的一个端点。

我们同时知道， $f_{max}(x)$ 一定是直径的某一端点

对于 $f:A->B$，对于 $x\in [1,n]$ ，都有唯一的 $y\in [1,n]$ 与之对应。 这个 $y$ 一定是端点。

对于每一个点，它到直径都有一个交点，否则与直径的最长性矛盾。路径长度的下限是 $a_n/2$ ，再考虑路径中间的特殊位置即可。

[AGC013E] Placing Squares

不难想到矩阵乘法。

$f_{x-1}={\sum }_{y=1}^{x-1}{f}_y\ast (x-y-1{)}^2$

$g_{x-1}={\sum }_{y=1}^{x-1}{f}_y\ast (x-y-1)$

$h_{x-1}={\sum }_{y=1}^{x-1}{f}_y$

---

$f_x={\sum }_{y=1}^{x-1}{f}_y\ast (x-y{)}^2+0$

$=f_{x-1}+2g_{x-1}+h_{x-1}$

$g_x={\sum }_{y=1}^{x-1}{f}_y\ast (x-y)+0$

$ =g_{x-1}+h_{x-1}$

$h_x=h_{x-1}+f_x$

$ =f_{x-1}+2g_{x-1}+2h_{x-1}$

我们有两种策略：

• 换一种dp状态

• 优化dp转移方式$（logn）$

时间复杂度 $O(mlogn)$。

考虑修改。这道题做完了。观察发现只有 $h_x$ 这一项会变化。

[AGC006B] Median Pyramid Easy

构造题。。。

以我的智商怎么可能想出来。。。

考虑每一层是所对应的下一层的中位数，考虑将大于等于 x 的置为1，小于 x 的置为0。

分类讨论一下：

1. （0,0,0） => （0）
2. （0,1,0） => （0）
3. （0,1,1） => （1）
4. （1,1,1） => （1）

显然第 3 种情况最优吧，考虑尽量把所有数转化成1。

上述算法太笼统了，并不能很好地满足条件。正解是构造两个相邻的 m。其实也不难。

[AGC006D] Median Pyramid Hard

考虑二分答案。

如果最后剩下的数是1，说明实际的数更大。考虑如何对于01序列确定操作后剩下的数。

事实上为1可以等价转化为cnt_1 \req 2

由浅入深。考虑n=2的情况，显然只需要1的个数 \req 2。

考虑连续的01块。这题大概就做完了吧。

*[AGC001C] Shorten Diameter

贪心没毛病。

我们知道删除叶子节点后直径的长度最多减少1。

直径的中心点实际上是在一直变化的。

[AGC001D] Arrays and Palindrome

比较惭愧的是题目没读懂。

题目的中心问题其实是使得满足回文串性质的一定由相同字符构成。进一步说，也就是满足连边后存在一笔画。

而我们知道一笔画存在的必要条件是：

1. 连通图
2. 度数为1的点小于等于2个

体现在本题中，奇回文串就会产生一个度数为1的点。这样的点不能超过2个。

剩下的分类讨论就行了。构造方案也很容易想出来吧，就是尾对尾，把奇数放在序列两端就好了。因为这两个点一定是路径的起点和终点，放在特殊位置会容易一些。

然后就是我主要考虑了全为2的情况，才想到首位构造奇数块来达到交错的目的。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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