【题解】CF8E Beads

CF8E Beads

确实不会做。。。

显然满足题意的二进制串的首位必须是 $0$。考虑一位一位地确定答案串。假设已经确定了答案串的前k位，我们假设第 $k+1$ 位是 $0$，则要设法统计出满足条件的串的个数 $s$。 那么如果 $s<m$，则答案串第 $k+1$ 位为 $1$ ，同时 $m=m-s$ ；否则答案串第 $k+1$ 位为 $0$。于是问题转化为，统计所有长度为 $n$ 的，前缀为 $prefix$ 的二进制串中，满足题目要求的串的个数。 这是一类与数位有关的统计问题，于是很容易想到数位 $dp$ 。

那么考虑 $d{p}_{i,j,rev,inv}$ 表示，当前已经确定了前 $i$ 位和末 $j$ 位，$rev$ 表示前 $i$ 位与末 $j$ 位的逆序是否相等， $inv$ 表示前 $i$ 位与末 $j$ 位的逆序取反后是否相等。状态转移比较显然，我们枚举第 $i+1$ 位和第 $n-i$ 位的取值，如果它满足 $prefix$ 的限制，且新的串没有违反题目要求， 那么更新 $rev$ 和 $inv$ 的状态，并累加到对应的新状态上。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k;
long long dp[55][2][2];
int a[55];
long long dfs(int pos,int lim1,int lim2) {
	if(pos<n-pos+1) return 1;
	if(dp[pos][lim1][lim2]>=0) return dp[pos][lim1][lim2];
	long long tot=0;
	for(int i=0;i<=1;i++)
	    if(a[pos]==i||a[pos]==-1) {
	    	for(int j=0;j<=1;j++)
	    	    if(a[n-pos+1]==j||a[n-pos+1]==-1) {
	    	    	if(lim1&&i>j||lim2&&i>!j||pos==n-pos+1&&i!=j) continue;
	    	    	tot+=dfs(pos-1,lim1&&(i==j),lim2&&(i==!j));
				}
		} 
    return dp[pos][lim1][lim2]=tot;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&k),k++;
	memset(a,-1,sizeof(a)),memset(dp,-1,sizeof(dp)),a[n]=0;
	long long nw=dfs(n,1,1);
	if(nw<k) {
		printf("-1");
		return 0;
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--) {
		a[i]=0,memset(dp,-1,sizeof(dp));
		long long nw=dfs(n,1,1);
		if(nw<k) {
			k-=nw,a[i]=1;
		} 
	}
	for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d",a[i]);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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