【口胡】CSP-S2019

[CSP-S2019] 树上的数

这显然是一个树上贪心的问题。

[CSP-S2019] 划分

借助干草堆的思路：所叠层数最高时，其底层最窄。

不难写出状态转移方程：

$f_x=f_y+1(su{m}_x-su{m}_y>=g_y)$

我们要求出满足条件且$f_y$最大时，$y$的最大值，然后令$g_x=su{m}_x-su{m}_y$

注意到$f_y$递增，所以我们只需要找到满足条件的$y$的最大值就行了。

可以用单调队列优化，维护一个$su{m}_y+g_y$单调递增的序列即可。

顺便提一下，如果$su{m}_x$没有单调递增的性质，可以用二分查找。

时间复杂度$O(n)$。

本题的状态转移方程：

$f_x=f_y+(su{m}_x-su{m}_y{)}^2$

稍微有点不同的地方在于，和上一个状态转移方程相比，转移代价不是常数1。

事实上我们可以知道：应该尽量让当前层的长度最小，同时能获得最小代价。

条件：$su{m}_x-su{m}_y>=g_y$

$\iff su{m}_x>=su{m}_y+g_y$

需要维护一个$su{m}_y+g_y$单调递增的序列。

如果要找的是最远点呢？那新加的点多半是没有用的。我们应该遵循新加的点一定有可能用上这一原则。

[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

要求合法的方案数，等于总方案数-不合法的方案数

设 $f_{x,y}$ 表示前 $x$ 种烹饪方法，做 $y$ 道菜的方案数，总方案数可以 $O(nm)$ 解决。

不合法的方案数=每种食材使用超过 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 的并

注意到每种方案最多只有1种食材超过 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$

设 $g_{i,j,k,s}$ 表示前 $i$ 个人，做了 $j$ 道菜，至少选了 $s$ 次 $k$ 食材的方案数

时间复杂度 $O(n^{3}m)$。

我们发现枚举统计答案是 $O(nm)$ ，预处理是 $O(n^{3}m)$，考虑平衡时间复杂度。

容易发现 $j,s$ 有联系，可以用 $2\ast k-j$表示超过半数，这样就变成 $O(n^{2}m)$ 了。

-j<=2*k-j<=j

0<=2k-j+j<=2j

[CSP-S2019] 树的重心

读题。。。

考虑暴力。枚举边(u,v)，分别以u,v为起点向子树寻找重心，每次走向一个重儿子，直到找到重心。

这个算法在子树不平均或链的形态时会退化成O(nm)

考虑树链剖分。

注意到树链剖分都是指向重儿子。

如果这是一个静态问题，那么记录 $so{n}_x$，$son{2}_x$，$si{z}_x$，$f_{x,y}$ 表示重儿子的 $2^y$ 路径即可。

由于是动态问题，所以需要 $O(logn)$ 维护上述信息。

当 $df{s}_y$ 时，把 $y$ 作为根；当 $y$ 回溯时，又把 $x$ 作为根，同时更新 $f$ 数组。

幸好有维护数据结构的功底，不过还是维护了很久。

注意跳的时候不是判断是否合法，而是其上方子树<=$\lfloor \frac{sum}{2}\rfloor$

而且重构的时候不能中途break，必须更新完。

tips：最开始只对son_x值有改变的进行了重构，实际操作中u，v都必须重构，否则会出错。

还是没有想明白一个细节：为什么u,v都必须重构。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mx=3e5+5;
inline int read()
{
	int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
	if(flag) return X;
	return ~(X-1);
}
int n;
int head[mx*2],nxt[mx*2],to[mx*2],cnt;
int f[mx][20];
int c[mx];
int siz[mx],son[mx],son2[mx],fa[mx];
long long ans;
bool judge(int x,int sum) {
	return (max(siz[son[x]],sum-siz[x])<=sum/2);
}
void add(int x,int y) {to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt;}
void put(int x,int y,int z) {
//	printf("%d %d %d\n",x,y,z);
    c[z]++;
}
void build(int x) {
	f[x][0]=son[x];
	for(int i=1;i<=19;i++) {
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	}
}
void dfs(int x,int fath) {
	fa[x]=fath,siz[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int y=to[i]; if(y==fath) continue;
		dfs(y,x),siz[x]+=siz[y];
		if(siz[y]>siz[son[x]]) son2[x]=son[x],son[x]=y;
		else if(siz[y]>siz[son2[x]]) son2[x]=y;
	}
	build(x);
}
void dfs2(int u,int fath) {
//	printf("dfn:%d\n",u);
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
		int v=to[i]; if(v==fath) continue;
		//查询v所在子树 
		int x=v;
		for(int j=19;j>=0;j--) {
			int y=f[x][j];
			if(siz[v]-siz[y]<=siz[v]/2) x=y;
		}
		if(judge(x,siz[v])) ans+=x,put(u,v,x);
		if(x!=v&&judge(fa[x],siz[v])) ans+=fa[x],put(u,v,fa[x]);
		//改变父子关系
		siz[u]-=siz[v],siz[v]+=siz[u],fa[u]=v;
		if(siz[u]>siz[son[v]]) {
			son2[v]=son[v],son[v]=u;
		}
		else if(siz[u]>siz[son2[v]]) {
//			printf("%d\n",son2[v]);
			son2[v]=u;
		}
		if(son[u]==v) {
            //这里son2必须清零，我也不知道为什么
            //原因见函数倒数第二排，son和son2会指向同一个数
			son[u]=son2[u],son2[u]=0;
		}
		build(u),build(v);
		//查询u所在子树
//		int mxtree=siz[son[u]];
//		if(mxtree<=siz[u]/2) ans+=u,putc(u,v,u,1);
//		x=son[u]; 
        x=u;
		for(int i=19;i>=0;i--) {
			int y=f[x][i];
			if(siz[u]-siz[y]<=siz[u]/2) x=y;
		}
//		if(x&&siz[son[x]]<=siz[u]/2&&siz[u]-siz[x]<=siz[u]/2) {
//			printf("pos:%d val:%d %d %d\n",u,x,siz[x],siz[u]);
			if(judge(x,siz[u])) ans+=x,put(u,v,x);
			if(x!=u&&judge(fa[x],siz[u])) ans+=fa[x],put(u,v,fa[x]);
//		}
		dfs2(v,u);
		//还原父子关系
        //我们称之为回溯操作
		siz[v]-=siz[u],siz[u]+=siz[v],fa[v]=u,fa[u]=0;
		if(son[v]==u) {
			son[v]=son2[v],son2[v]=0;
		}
		if(siz[v]>siz[son[u]]) {
//			if(son[u]==son2[u]) printf("yes");
			son2[u]=son[u],son[u]=v;
		}
		else if(siz[v]>siz[son2[u]]) son2[u]=v;
		build(u),build(v);
	}
}
int main() {
	freopen("centroid.in","r",stdin);
	freopen("centroid.out","w",stdout);
    int T=read();
    while(T--) {
    	memset(f,0,sizeof(f));
    	memset(son,0,sizeof(son));
    	memset(son2,0,sizeof(son2));
    	memset(head,0,sizeof(head));
    	memset(c,0,sizeof(c));
        n=read(); cnt=ans=0;
        for(int i=1;i<n;i++) {
        	int x=read(),y=read();
        	add(x,y),add(y,x);
		}
		dfs(1,0);
		dfs2(1,0);
		printf("%lld\n",ans);
//		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",c[i]);
//		printf("\n");
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530355.html
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