【总结】wqs二分

四边形不等式

wqs二分

论DP的各种优化

[APIO/CTSC 2007]数据备份

$$f_{x,0}=min(f_{x-1,0},f_{x-1,1})$$

$$f_{x,1}=f_{x-1,0}+di{s}_x+c$$

意会即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,k;
int choose[N][2];
long long dist[N],dis[N];
long long dp[N][2];
int check(long long mid) {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(dp[i-1][0]<dp[i-1][1]||dp[i-1][0]==dp[i-1][1]&&choose[i-1][0]<choose[i-1][1]) {
			dp[i][0]=dp[i-1][0],choose[i][0]=choose[i-1][0];
		}
		else dp[i][0]=dp[i-1][1],choose[i][0]=choose[i-1][1];
		dp[i][1]=dp[i-1][0]+dis[i]+mid,choose[i][1]=choose[i-1][0]+1;
	}
	if(dp[n][0]<dp[n][1]||dp[n][0]==dp[n][1]&&choose[n][0]<choose[n][1]) return choose[n][0];
	return choose[n][1];
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&dist[i]),dis[i]=dist[i]-dist[i-1];
	long long L=-1e9-10,R=0;
	long long midl=0;
	while(L<=R) {
		long long mid=(L+R)>>1;
		if(check(mid)==k) {
			printf("%lld",min(dp[n][0],dp[n][1])-k*mid);
			return 0;
		}
		if(check(mid)>k) {
			L=mid+1;
		}
		else {
			midl=mid;
			R=mid-1;
		}
	}
	check(midl);
	printf("%lld",min(dp[n][0],dp[n][1])-k*midl);
}

[八省联考2018]林克卡特树

理解一下这个过程。

本质上就是求树的 $k+1$ 条不相交的链的和的最大值。

$d{p}_{i,k,0/1/2}$ 表示以 $i$ 为根的子树，$k$ 条链 ，在链外/链端/链上的和的最大值。

容易发现， $k$ 越大，$d{p}_{1,k,0/1/2}$ 的增长率越慢（有可能负增长）。

这是一个凸函数。考虑 wqs二分。

具体地，二分权值 $c$ ，每增加一条链，就要加上 $c$ 的代价。

具体地，可以把 $d{p}_{i,2}$ 合并到 $d{p}_{i,0}$ 上，简化 $dp$ 转移方程。

需要注意的是，我们只在一条独立的链的开始，即 $d{p}_{i,2}$ 上增加权值 $c$ 。

$c=[-\infty ,+\infty ]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
inline int read()
{
	int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
	if(flag) return X;
	return ~(X-1);
}
struct data{
	long long v,c;
	data operator +(data d) {
		data a;
		a.v=v+d.v;
		a.c=c+d.c;
		return a;
	}
	bool operator <(data d) {return v<d.v||v==d.v&&c>d.c;}
}dp[N][3];
data Max(data a,data b) {
	return a<b?b:a;
}
int n,k;
int head[N*2],nxt[N*2],to[N*2],w[N*2],num;
long long sum,cnt,delta;
void add(int x,int y,int z) {
	to[++num]=y,w[num]=z,nxt[num]=head[x],head[x]=num;
}
void dfs(int u,int fath) {
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
		int v=to[i],z=w[i]; if(v==fath) continue;
		dfs(v,u);
		dp[u][2]=Max(dp[u][2]+dp[v][0],dp[u][1]+dp[v][1]+(data){z+delta,1});
		dp[u][1]=Max(dp[u][0]+dp[v][1]+(data){z,0},dp[u][1]+dp[v][0]);
		dp[u][0]=dp[u][0]+dp[v][0];
	}dp[u][0]=Max(dp[u][0],dp[u][2]);
}
void check(long long mid) {
	delta=mid;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		dp[i][0]={0,0},dp[i][2]={delta,1},dp[i][1]={0,0};
	}
	dfs(1,0);
	sum=dp[1][0].v,cnt=dp[1][0].c;
}
int main() {
	n=read(),k=read()+1;
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int x=read(),y=read(),z=read();
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	long long L=-1e10,R=1e10,midl;
	while(L<=R) {
		long long mid=(L+R)>>1;
		check(mid);
		if(cnt<=k) {L=mid+1,midl=mid;}
		else R=mid-1;
	}
	check(midl);
	printf("%lld\n",sum-k*midl);
} 

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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