【口胡】Ynoi刷题记录

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

分块后，预处理 $F_{i,j}$表示第 $i\sim j$块的众数的出现次数。

用vector按顺序存每个数值所有元素的出现位置。

再记录每个元素在相应vector里的下标 $p$。

考虑询问，中间的直接使用预处理出的 $F_{i,j}$的值即可。设当前的答案 $ans=F_{i,j}$。

考虑边界的元素。这里我们运用迭代的思想。对于右边的边角元素 $x$，如果它的出现次数比ans大，那么 $p_x-ans$ 的元素 $y$ 当然大于等于 $l$ 。这个判断是O(1)的。

显然，由于边界的数最多 $2\sqrt{n}$个，所以最多使得答案增加 $2\sqrt{n}$。

每次询问对 $O(\sqrt{n})$个元素检查，++ans的次数为 $O(\sqrt{n})$次。所以查询的时间复杂度为 $O(m\sqrt{n})$。

总时间复杂度 $O((n+m)\sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n)$。

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

树状数组+莫队的时间复杂度是$O(nlogn\sqrt{m})$

考虑优化，我们发现我们的某一次询问其实是可以差分的。

即每次右指针右移的时候，都有这样的一组询问： $l-r$中有多少数比 $a_r$大

然而这个东西可以差分： $[1,r]$中比 $a_r$大的数的数量减去 $[1,l-1]$中比 $a_r$大的数的数量。

对于前面那一坨可以用树状数组做。

后面那一坨询问离线下来处理即可。

这个时候我们一共存了 $n\sqrt{m}$ 组移动（莫队复杂度，总移动次数）也就是要处理 $n\sqrt{m}$组询问。

然而我们可以平衡它的复杂度，因为我们要处理 $n\sqrt{m}$询问，却只需要插入 $O(n)$组数（即左端点扫过去的过程只移动 $n$ 次）

可以使用一个插入 $O(\sqrt{n}),$查询 $O(1)$的数组结构 $->$值域分块。

对于莫队中的四种移动分 $4$类讨论，最后需要从 $1-n$用左端点扫一遍还需要再用右端点从 $n-1$扫一遍。

这样复杂度就被平衡到了 $O(n\sqrt{m}+n\sqrt{n})$辣。

但是这样做要把 $n\sqrt{m}$移动存下来，空间吃不下。

我们发现其实莫队的移动有规律，当右端点移动的时候，其左端点并没有发生任何移动，我们可以用$(l,st,ed,1/-1)$来表示。

同理，当左端点移动的时候，右端点也没有发生任何移动。

这样空间复杂度就变成了 $O(M)$。

本题的[st,ed]如果是$l$的变化区间，就只把端点$st$,$ed$存进vector数组，当i=st时把询问加入，i=ed+1时把询问删除即可。操作总数仍然只有$O(n\sqrt{m})$次。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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