【总结】迭代加深

Power Calculus

不难想到以下剪枝：

• 每次操作新生成的数，当 $>n$ 时必须执行减法，当 $<n$ 时必须执行加法，尽量选数值大的数

• 数列中的数必须不重复

• 若每次乘二都不能到达 $n$ ，则退出

然而第一种做法无法搜出来答案，主要是在于前面部分可能执行一次减法，而上述方法是先将加法搜完，相当于是搜一个没有答案的很深的子树。实际上关键是在前几次搜索的选择上。考虑换一种搜索顺序，加法和减法同时搜，同时优先搜加法。然而担忧在于初始时分支太多。但是如果不这样做，又不能找到正确答案所在的子树。不过，由于有了第三条剪枝，所以顺利搜出来了。

这个搜索顺序值得玩味。

473

11

1 2 4 8 16 32 64 128 256 192 384

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

编辑书稿

设层数为k，则总操作数为 $560^k$

先考虑不加任何优化的暴力+迭代加深。无法通过，层数太深。

用数组来存储空间消耗太大，可以考虑用整数来状压。（然而实测这种方法更慢）

缩小搜索空间的策略有

策略1：只剪切连续的数字片段

策略2：剪切的片段头为a尾为b，要么粘贴到a-1的后面，要么粘贴到b+1前面。

策略3：不要破坏已经连续的片段。

但是策略1和策略2并能保证正解：如5 4 3 2 1 —》 3 2 5 4 1 —》 3 4 1 2 5 -》 1 2 3 4 5。

策略1，2出错主要是因为忽略了后效性，策略3是可以的，把连续的片段看成整体，拆开它一定是比不拆它的步数要少。

可以发现3个策略都只考虑了端点，由于是控制的决策，所以后效性较大。而策略3则在原有状态空间里保留了已经剪切成功的部分。

下面寻找估价函数

由于每次剪切最多更改3个数字的前继（或后继），所以统计前继不对的数字个数为n个那么只少还要搜n/3层。如果d+n/3>maxd就剪枝。

还有一个剪枝是：移动片段b1-b2到b2+1-c后面，相当于移动b2+1-c到b1-b2前面，所以只要枚举把片段往后移动就行了。

最后一个剪枝在于，为了保证相邻两个数的大小关系不被破坏，所以当 $a_j<a_{j+1}$ 时，$a_j$ 会跑到后面，可以剪枝。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int n,len,a[15];
//瞎写的 
bool dfs(int x,int dep) {
	int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]!=a[i-1]+1) cnt++;
	if(cnt==0) return 1;
	if(x+(cnt+2)/3>dep) return 0;
	int copy[15];copy[0]=copy[n+1]=0;for(int i=1;i<=n;i++) copy[i]=a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(copy[i-1]+1==copy[i]) continue;
		for(int j=i;j<=n;j++) {
	    	if(copy[j]+1==copy[j+1]) continue;
	    	if(copy[j]<copy[j+1]) continue;
	    	for(int k=j+1;k<=n;k++) {
	    		if(copy[k]+1==copy[k+1]) continue;
	    		int cnt=0;
	    		for(int s=1;s<i;s++) a[++cnt]=copy[s];
	    		for(int s=j+1;s<=k;s++) a[++cnt]=copy[s];
	    		for(int s=i;s<=j;s++) a[++cnt]=copy[s];
	    		for(int s=k+1;s<=n;s++) a[++cnt]=copy[s];
	    		if(dfs(x+1,dep)) return 1;
			}
		} 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=copy[i];
	return 0;
}
signed main() {
//	freopen("data6.in","r",stdin);
//	freopen("own.out","w",stdout);
	int T=0;
	while(scanf("%d",&n)&&n) {
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		for(len=0;len<=n;len++) {
			if(dfs(0,len)) {
		    	break;
		    }
		} 
		printf("Case %d: %d\n",++T,len);
	}
}

Derorying the station

不难想到，满足条件的充要条件是最短路长度<=k。

想要满足条件，就必须在最短路上删除一个点。

我们可以以此为搜索框架，进行迭代加深搜索。每次搜索时，一直在最短路上选一个点来删除，直到没有路或路大于等于k。

求最短路时间复杂度是$O(50)$。每层搜索最多有50个分支（比直接随便选一个点来好很多，因为有可能白删除了），可以接受。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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