【总结】四边形不等式

四边形不等式

不妨设 $a<c$，有：
$$w_{a,c}+w_{a+1,c+1}\le w_{a+1,c}+w_{a,c+1}(1)$$

$$w_{a+1,c}+w_{a+2,c+1}\le w_{a+1,c+1}+w_{a+2,c}(2)$$

$(1)+(2)$得到：
$$w_{a,c}+w_{a+2,c+1}\le w_{a+2,c}+w_{a,c+1}(3)$$
以此类推，将(1)(3)式对比研究，令 $a+2=b$，有：
$$w_{a,c}+w_{b,c+1}\le w_{b,c}+w_{a,c+1}(4)$$
同理，可以对 $c+1$ 进行放缩令 $d=c+1$ ，有：
$$w_{a,c}+w_{b,d}\le w_{b,c}+w_{a,d}$$
总结一下，我们将 $a+1$ ， $c+1$ 分别进行放缩，成为 $b$ ， $d$ ，即第二、四项。

由此得到一维决策单调性：$s_i\le s_{i+1}$

如果加上 $w$ 函数的单调性： $w_{i,j}\le w_{i-1,j+1}$

就可以得到二维决策单调性：$s_{i,j-1}\le k\le s_{i+1,j}$

前面讨论的都是 $min$ ，如果是 $max$ ，也可以进行四边形不等式优化。此时四边形不等式是“反”的，决策单调性的结论不变。

一维决策单调性优化

形如 $f_j=mi{n}_{0\le i<j}(f_i+va{l}_{i,j})$ ，若 $val$ 函数满足四边形不等式或增长率越来越慢存在分界点，则 $f$ 具有决策单调性或决策间存在最优分界点，可以用单调栈或分治解决。

二维决策单调性优化

形如 $d{p}_{i,j}=min(d{p}_{i,k}+d{p}_{k+1,j}+w_{i,j})$ 的 区间DP 问题，如果 $w$ 满足四边形不等式和单调性，则可以 $O(n^2)$ 解决 。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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