【题解】[HEOI2013]SAO
[HEOI2013]SAO
有一张连成树的有向图，求拓扑序的数量。如何厘清状态和方案是计数 d p dp dp 的难点。
如果看成 DAG，你会发现子树有重叠部分，不好计算。
考虑树形 d p dp dp ，设 f i , j f_{i,j} fi,j 表示 i i i 在以 i i i 为根的子树中拓扑序排名为 j j j 的方案数。
前置知识： m个相同的球放进n个不同的盒子 的方案数可以看做 m+n个相同的球放进n个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球 ，插板法即可得 ( m + n − 1 n − 1 ) \binom{m+n-1}{n-1} (n−1m+n−1) 。
同样，将 长度为m的有序序列插入长度为n的有序序列 的方案数为 ( m + ( n + 1 ) − 1 ( n + 1 ) − 1 ) = ( n + m n ) \binom{m+(n+1)-1}{(n+1)-1}=\binom{n+m}{n} ((n+1)−1m+(n+1)−1)=(nn+m) 。
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x x x 在 y y y 前面， f x , i + j = f x , i f y , k ( i + j − 1 i − 1 ) ( s i z x − i + s i z y − j s i z x − i ) f_{x,i+j}=f_{x,i}f_{y,k}\binom{i+j-1}{i-1}\binom{siz_x-i+siz_y-j}{siz_x-i} fx,i+j=fx,ify,k(i−1i+j−1)(sizx−isizx−i+sizy−j)， j < k ≤ s i z y j<k \leq siz_y j<k≤sizy
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x x x 在 y y y 后面， f x , i + j = f x , i f y , k ( i + j − 1 i − 1 ) ( s i z x − i + s i z y − j s i z x − i ) f_{x,i+j}=f_{x,i}f_{y,k}\binom{i+j-1}{i-1}\binom{siz_x-i+siz_y-j}{siz_x-i} fx,i+j=fx,ify,k(i−1i+j−1)(sizx−isizx−i+sizy−j)， 1 ≤ k ≤ j 1\leq k \leq j 1≤k≤j
发现后面的系数与 k k k 的取值与无关，考虑用后缀和优化，即 f y , k f_{y,k} fy,k 的和。
最后的答案为 ∑ i = 1 n f 1 , i \sum_{i=1}^nf_{1,i} ∑i=1nf1,i 。总时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 。
讲一下这个是怎么分析的，因为每次将一颗子树和兄弟子树合并，相当于树上每对节点在 LCA 处贡献复杂度，所以是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的。
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