【题解】[雅礼集训] Arg

[雅礼集训] Arg

dp套dp好题。

考虑做lis的两种方法：

1.设f[i]表示做到i的最长子序列长度

2.设f[i]表示长度为i的上升子序列最后那个数最小是多少

第一种方式不好设状态，我们考虑第二种

显然，如果知道f里有哪些数字，就可以还原f

那么我们设一个状态 $f[S][F]$ 表示现在原来的序列中已经用了S这些数字，f数组中的数为F的方案数

考虑转移，显然有2种方式：
1.向S中添加一个不在A中的元素，这种情况直接转就可以了

2.向S中添加一个在A中的元素，这个时候要考虑顺序，如果A[1…j]都在F中出现过，那么我们可以添加的元素就是A[j+1]

最后答案就是∑ $f[S][F]$ 其中S为全集，F的集合大小为A的长度

这样不能满分，考虑简化状态，由于F∈ S，所以这个状态可以用3进制表示，这样就可以通过了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int mx=20;
const int mxn=1.5*1e7;
inline int read(){
	int x=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
//dp套dp。内层dp有讲究，设f_i表示长度为i的上升序列最小是多少
//那么f_i<=f_{i+1},内层dp具有单调性
//这里S是一个集合，集合是不考虑排序的。
//继续分析性质，可知对于前缀长度为i,i+1,它的结尾元素一定不同,且T是S子集。 
int n,m,ans,dp[mxn],f[mx],a[mx],b[mx],c[mx],rnk[mx],lsh[mxn],num,cnt,cnt2;
int get(int x,int y) {
	x/=f[y-1];
	return x%3;
}
int main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
	f[0]=1; for(int i=1;i<=15;i++) f[i]=f[i-1]*3;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]),rnk[a[i]]=1;
	dp[0]=1;
//	printf("%d\n",f[n]);
	for(int cf=0;cf<=n;cf++) {
		for(int i=0;i<f[n];i++) {
			if(!dp[i]) continue;
			cnt=0;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(get(i,j)) cnt++;
			}
			if(cnt!=cf) continue;
//			printf("dp[%d]=%d\n",i,dp[i]);
//			for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",get(i,j));
//			printf("\n\n");
			cnt=0; 
			//0表示不属于当前集合，1表示属于当前集合，但不是任何一个前缀的结尾
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				if(get(i,a[j])) b[++cnt]=a[j];
			}
			cnt2=0;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(get(i,j)==2) c[++cnt2]=j;
			}
			if(cnt2>m) continue;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(get(i,j)||rnk[j]&&j!=a[cnt+1]) continue;
				if(j>c[cnt2]) {
					dp[i+f[j-1]*2]+=dp[i];
				}
				else {
					int t=lower_bound(c+1,c+1+cnt2,j)-c,x=c[t];
					dp[i-f[x-1]+f[j-1]*2]+=dp[i]; 
				}
			}
			cnt=cnt2=0;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(get(i,j)) cnt++;
				if(get(i,j)==2) cnt2++;
			}
			if(cnt==n&&cnt2==m) {
				ans+=dp[i];
			}
		}
	}

	printf("%d",ans);
} 

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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