【题解】「abc171F」Strivore

题意

求出在一个字符串 $s$ 中插入 $n$ 个小写字母，有多少不同的结果。$n\le 10^6$ 。

solution:

神仙计数题。本题可以等价转化为，有多少长度为 $n+m$ 的字符串存在子序列串 $s$ 。为了避免算重，我们规定如果有相同字符，则取序列中的最后一个 。

例如：字符串 abbcddc 的子序列 bc，从字符串的结尾往开头找，c 找到字符串末尾，b 找到字符串第三位。不难发现，对于一个给定的字符串所对应的唯一子序列是确定的。

那么我么就可以考虑枚举开头位置 $1\le i\le m+1$ ， $i$ 前面的每一个数都没有限制，总共 $26^{i-1}$ 种可能。对于后面 $n+m-i$ 个数，首先选出 $m-1$ 个数确定子序列在字符串中的位置；对于剩下 $n-i+1$ 个不在子序列中的数，为了满足定义，我们知道不能和它后继的子序列中的字符一样，所以总共 $25^{n-i+1}$ 种可能。

如图，可以发现的确有 $25$ 种可能。

时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

其实这道题我最开始的想法是考虑 $26$ 种颜色，也能保证字符串长得不一样，但是似乎很难算答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mx=2e6+5;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
ll res,fac[mx],inv[mx];
//相同的字符 x ，取序列中的最后一个 
ll fpow(ll x,ll y) {
	ll mul=1;
	for(;y;y>>=1) {
		if(y&1) mul=mul*x%mod;
		x=x*x%mod;
	}
	return mul; 
} 
ll C(ll x,ll y) {
	return fac[x]*inv[x-y]%mod*inv[y]%mod;
}
ll A(ll x,ll y) {
	return fac[x]*inv[y]%mod;
}
ll G(ll x,ll y) {
	return C(x+y-1,y-1);
}
char s[mx];
int main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
	scanf("%d%s",&m,s+1),n=strlen(s+1);
    fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=2000000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[2000000]=fpow(fac[2000000],mod-2);
	for(int i=2000000;i>=1;i--) {
		inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
	}
	for(int i=1;i<=m+1;i++) {
		ll turn1=fpow(26,i-1),turn2=C(n+m-i,n-1)*fpow(25,n+m-i-(n-1))%mod;
		res=(res+turn1*turn2%mod)%mod;
	}
	cout<<res;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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