【总结】dsu on tree

简介

树上启发式合并简称 dsu on tree ，其思想在于 暴力跑轻儿子的贡献 ，同时用桶记录下 重儿子的贡献 ，可以用于一类树的统计问题或 dp 优化，可以做到时间复杂度 O(nlogn) ，空间复杂度 O(n) 。

引入

直接讲实现方法吧。毕竟其他方法都没有实际意义。

Part 1. 预处理子树大小和重儿子

void dfs(int x,int fa) {
	siz[x]=1;
	for(auto y:g[x]) {
		if(y!=fa) {
			dfs(y,x);
			siz[x]+=siz[y];
			if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
		}
	}
}

Part 2. add 函数（暴力跑轻儿子）

void add(int x,int fa,int val) {
	cnt[col[x]]+=val;
	if(cnt[col[x]]>Mx) Mx=cnt[col[x]],Sum=col[x];
	else if(cnt[col[x]]==Mx) Sum+=col[x];
	for(auto y:g[x]) {
		if(y!=fa && y!=Son) {
		    add(y,x,val);
		}
	}
}

Part3. 树上启发式合并

先跑重儿子，然后不删除重儿子的影响，直接跑轻儿子。这样可以证明每一个点最多跑 logn 次，时间复杂度 O(nlogn) ,桶是 O(1) 的。

void dfs2(int x,int fa,int keep) {
	for(auto y:g[x]) {
		if(y!=fa && y!=son[x]) {
			dfs2(y,x,0);
		}
	}
	if(son[x]) dfs2(son[x],x,1);
	Son=son[x];
	add(x,fa,1),Son=0; //这里 Son 必须清零
	ans[x]=Sum;
	if(!keep) {
		add(x,fa,-1),Sum=Mx=0;
	}
} 

例题

https://vjudge.net/contest/447457#overview

还有一些 dp 优化的 trick ，这里不再赘述。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530326.html
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