【题解】CF Educational Round 4

学到了一些 trick 。虽然考场上只做了 3 道题。

C. The Union of k-Segments

比较棘手的是 l[i]=r[i] 的情况，此时线段退化成了点。

这里提供一个不用分类讨论的做法。

首先离散化，然后 把离散化的值乘2 ，这样构建了一些中点。

对于修改 [l,r] 等价于 update(l,1) + update(r+1,-1) 。

看图可知，如果当前点是线段的中点，且出现次数 >=k ，则将线段 push ；否则 push 单点。

注意空间要看 4 倍。时间复杂度 O(nlogn)。

#include<bits/stdc++.h>
#define PII pair<string,int>
#define All(x) x.begin(),x.end() 
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int mx=4e6+5;
// 构造序列 q[] 使得 q[q[i]] = p
// 如果 p[i] = i, 那么 该位置可选任何数；
// 否则，该位置不能选 i 和 p[i]
int n,k,bit[mx],l[mx],r[mx];
int lsh[mx],cnt,sum[mx],vis[mx]; //讨论是线段还是点 
int ql[mx],qr[mx],tot;
int getx(int x) {
	return lower_bound(lsh+1,lsh+1+cnt,x)-lsh;
}
void update(int x,int k) {
	for(int i=x;i<=cnt*2;i+=i&-i) bit[i]+=k;
}
int query(int x) {
	int tot=0;
	for(int i=x;i;i-=i&-i) tot+=bit[i];
	return tot;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
		lsh[++cnt]=l[i];
		lsh[++cnt]=r[i];
	}
	sort(lsh+1,lsh+1+cnt),cnt=unique(lsh+1,lsh+1+cnt)-lsh-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		l[i]=getx(l[i]),r[i]=getx(r[i]);
		l[i]<<=1,r[i]<<=1; 
		update(l[i],1),update(r[i]+1,-1);
	}
	for(int i=1;i<=cnt*2;i++) {
		int tmp=query(i);
		if(tmp>=k) {
			//如果是区间中点，说明整个区间都被覆盖了 
			//此时两个端点显然也会覆盖 
			if(i & 1) {
				qr[tot] = lsh[(i>>1)+1];
			}
			//说明加入的是一个端点
			//如果 qr[tot] = i,那么 continue ;
			//否则将这个单独的点插进去 
			else {
				if(tot && qr[tot] == lsh[i>>1]) continue;
			    tot ++;
			    ql[tot] = qr[tot] = lsh[i>>1];
			}
		}
	}
	printf("%d\n",tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++) {
		printf("%d %d\n",ql[i],qr[i]);
	}
} 

E. Square Root of Permutation

题意：构造 q[] 使得 q[q[i]]=p[i] 。即求置换 p 的平方根。

考点：数学+置换+思维。

Solution:

• 对于每个 i ，将 i 向 p[i] 连边。可以得到若干个环。
• 分类讨论：对于奇环，发现 q[q[i]] 还在奇环上，想到将 prt[i] 向 prt[i+m/2+1] 连边，这样 q[q[i]] 恰好指向后继 p[i] 。
• 对于偶环，发现若 m=n/2 则恰好回到原点，自然想到将两个长度相同的偶环拼起来，如果 cnt % 2 ==1 则输出 -1 。
  总结：从本题中体会到图论模型的强大，有时候要善于把构造题往图论上思考。

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define PII pair<string, int>
#define pb push_back
#define vec vector
#define All(x) x.begin(), x.end()
#define INS(x) inserter(x, x.begin())
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int mx = 1e6 + 5;
int n, p[mx], ans[mx], vis[mx], m, prt[mx], rnk[mx];
vector<int> C[mx];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    	//i 向 p[i] 连边 
        scanf("%d", &p[i]), rnk[p[i]] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
    	if(vis[i]) continue;
    	int j = i; m = 0;
    	while(!vis[j]) vis[j] = 1, prt[m++] = j, j = p[j];
    	//prt[] 存的是环上编号
		//位置为 x 的点指向新的边 p[p[x]] 
//    	for(int j = 0; j < m; j++) {
//    		printf("%d ",prt[j]);
//		}
//		printf("\n");
    	if(m & 1) {
    		for(int j = 0; j < m; j++) {
    			ans[prt[j]]=prt[(j+m/2+1)%m];
			}
    		continue;
		}
    	if(!C[m].size()) {
    		for(int j = 0; j < m; j++) C[m].push_back(prt[j]);
		}
		else {
//			cout<<m<<endl;
			for(int j = 0; j < m; j++) {
				ans[prt[j]] = C[m][j];
				ans[C[m][j]] = prt[(j + 1) % m];
			}
			C[m].clear();
		}
	}
	for(int i = 2; i <= n; i += 2) {
		if(C[i].size()) {
			printf("-1");
			return 0;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ",ans[i]);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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