【浅谈】置换群

前言

本博客偏 math。

Valera and Swaps

构造一个操作序列，每次 swap(p[i],p[j]) ，使得最终序列经过最少 k 次操作后能使每个 p[i]=i 。输出字典序最小。

结论1. 连边 i->p[i]，则 操作数=n-环的个数 。

正确性显然。

分类讨论：

1. 若 cnt<k 则输出 k-cnt ，有如下合并环操作：选取 pos[i]!=pos[j] ，执行 swap(p[i],p[j]) 。
2. 若 cnt>k 则输出 cnt-k ，有如下拆分环操作：选取 pos[i]==pos[j],i!=j ，执行 swap(p[i],p[j]) 。
   
   方便起见，对于一个环，我们把首位打一个标记。

时间复杂度 O(n^2) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int mx=3005;
using namespace std;
int n,m,k,cnt,cnt2,p[mx],prt[mx],pos[mx],cord[mx];
vector<int> vec[mx];
//方便起见，对于一个环，我们把首位打一个标记。 
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
	scanf("%d",&k);
	//所需次数 = n - 环的个数 
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(pos[i]) continue;
		int j=i; m=0; cnt++; cord[j]=1; //首位打标记 
		while(!pos[j]) prt[m++]=j,pos[j]=cnt,j=p[j];
	}
	cnt=n-cnt;  //细节问题 
	if(k<cnt) {
		printf("%d\n",cnt-k);
//		cout<<"YES"<<endl;
		for(int i=1;i<=cnt-k;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) vec[j].clear(),pos[j]=0;
			cnt2=0;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(cord[j]) {
					cnt2++;
					for(int k=j;!pos[k];k=p[k]) pos[k]=cnt2;
				}
			}
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				vec[pos[j]].push_back(j); 
//				cout<<pos[j]<<" ";
			}
//			cout<<endl;
			for(int j=1;j<=n;j++) cord[j]=0; //重新标号 
			//相同环分离 
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(vec[pos[j]].size()>1) {
					int k=vec[pos[j]][1];
					swap(p[j],p[k]);
					cord[j]=cord[k]=1;
					vec[pos[j]].clear();
					printf("%d %d ",j,k); 
					break;
				}
			}
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(vec[j].size()) {
					cord[vec[j][0]]=1;
					vec[j].clear();
				}
			}
		}
	} 
	else if(k==cnt) {
	    printf("0");
	}
	else {
		printf("%d\n",k-cnt);
		//不同环合并 
		for(int i=1;i<=k-cnt;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) vec[j].clear(),pos[j]=0;
			cnt2=0;
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(cord[j]) {
					cnt2++;
					for(int k=j;!pos[k];k=p[k]) pos[k]=cnt2;
				}
			} 
			for(int j=2;j<=n;j++) {
				//不在同一个环 
				if(pos[1]!=pos[j]) {
					cord[pos[j]]=0; //
					swap(p[1],p[j]);
					printf("1 %d ",j);
					cord[1]=1;
					break;
				}
			}
		}
	}
}

[NOIP2005 提高组] 篝火晚会

题意看错了，以为只能交换连续的 m 个位置。。。

说白了你有两个环，问你经过最少几次操作后一模一样。

显然 a->b 和 b->a 等价，假设样例给的环是这样：

显然也可以逆时针构造，所以要跑两次：

环上问题考虑破成 2n 链： 1 4 2 3 1 4 2 3

结论1: 最小操作次数 n-k ,其中 k 表示相对位相同的个数。

举例 1 4 2 3 ， k=1 ； 1 3 2 4 ， k=2 。所以样例答案为 2 。

暴力枚举初始点 i ，然后暴力匹配，时间复杂度 O(n^2) 。

显然可以用桶优化，如下图：

时间复杂度 O(n) 。显然吧 qwq 。

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int mx = 1e5 + 5;
int n, m, res(INF), prt[mx], l[mx], r[mx], dig[mx], pos[mx], a[mx], b[mx], c[mx], tong[mx];
void dfs(int x, int nxt) {
    prt[++m] = x;
    pos[x] = 1;
    if (pos[nxt])
        return;
    dfs(nxt, (x == l[nxt]) ? r[nxt] : l[nxt]);
}
//似乎答案就是逆序对
void solve() {
    //	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",prt[i]);
    //	printf("\n");
    memset(tong,0,sizeof(tong));
	for(int j = 1; j <= n; j ++) {
		tong[(j-prt[j]+n)%n]++;
	}
	for(int j = 0; j < n; j++)
	    res=min(res,n-tong[j]);
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i+n] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (l[l[i]] != i && r[l[i]] != i || l[r[i]] != i && r[r[i]] != i) {
            printf("-1");
            return 0;
        }
    }
    //向左走
    dfs(1, l[1]);
    solve();
    m = 0;
    memset(pos, 0, sizeof(pos));
    //向右走
    dfs(1, r[1]);
    solve();
    printf("%d", res);
}

Moodular Arithmetic

首先观察，样例 9=3*3 且 25=5*5 ，猜测答案就是 n^k 。

再仔细观察，发现 k 就是环的个数。但是要特判 k=1 的情况，此时答案就是 n^n 。

至于连边，你把 f 函数的自变量 x->k*x%p 连边，很容易看出是完全剩余系吧。

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int mx = 1e5 + 5;
int n, m, res(INF), prt[mx], l[mx], r[mx], dig[mx], pos[mx], a[mx], b[mx], c[mx], tong[mx];
void dfs(int x, int nxt) {
    prt[++m] = x;
    pos[x] = 1;
    if (pos[nxt])
        return;
    dfs(nxt, (x == l[nxt]) ? r[nxt] : l[nxt]);
}
//似乎答案就是逆序对
void solve() {
    //	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",prt[i]);
    //	printf("\n");
    memset(tong,0,sizeof(tong));
	for(int j = 1; j <= n; j ++) {
		tong[(j-prt[j]+n)%n]++;
	}
	for(int j = 0; j < n; j++)
	    res=min(res,n-tong[j]);
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i+n] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (l[l[i]] != i && r[l[i]] != i || l[r[i]] != i && r[r[i]] != i) {
            printf("-1");
            return 0;
        }
    }
    //向左走
    dfs(1, l[1]);
    solve();
    m = 0;
    memset(pos, 0, sizeof(pos));
    //向右走
    dfs(1, r[1]);
    solve();
    printf("%d", res);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530319.html
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