【题解】集合操作

题意

定义一个可重集合 s ，一次操作为将 s 中最大值减去 p 。

小 L 想知道，如果给你 s 和 p 以及操作次数 k ，你能求出最后的集合吗？

k<=10^18 。

Solution：

因为思路比较有借鉴意义，所以写了。

首先 k 的范围不允许模拟。考虑到最大值有单调性，所以二分最终序列最大值，因为每次减去的数一定，可以直接算。可以证明剩下的操作不超过 n 次，暴力枚举即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll k,p,Max,cnt;
ll a[1000005];
vector<ll> ans;
priority_queue<ll> q;
ll check(ll mid) {
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]>mid) {
            ll tmp=(a[i]-mid+p-1)/p;
            cnt+=tmp;
        }
    }
    return cnt;
}
int main() {
	scanf("%d%lld%lld",&n,&k,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&a[i]),Max=max(Max,a[i]);
	}
    sort(a+1,a+1+n);
    if(p==0) {
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]);
        return 0;
    }
	ll l=-1e18,r=Max,res=0;
    while(l<=r) {
        ll mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)<=k) {
            r=mid-1,res=mid;
        }
        else {
            l=mid+1;
        }
    }
    // cout<<res<<endl;
    check(res);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]>res) {
            ll tmp=(a[i]-res+p-1)/p;
            a[i]-=tmp*p;
        }
        q.push(a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=k-cnt;i++) {
        ll x=q.top(); q.pop();
        q.push(x-p);
    }
    while(q.size()) {
        ans.push_back(q.top()); q.pop();
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--) printf("%lld ",ans[i]);
}

第二种思路是二分临界点。考虑 Max-Min<=p 的情况，此时每次操作最大数时都会放在队列末尾，显然具有单调性。
于是我们想到二分 i 值，我们发现 i=n 时一定成立（因为 i 第一次被取出说明其他数都减的比它小且不超过 p），所以只需要判断第 i 个数第一次被取出时是否 Max-Min<=p 即可。常数较小。

进一步发现没必要二分，直接减到比 a[n] 小即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//代码有锅，应该是细节问题
int n;
ll k,p,Max,cnt;
ll a[1000005];
vector<ll> ans;
priority_queue<ll> q;
ll check(int mid) {
    cnt=0;
    for(int i=1;i<mid;i++) {
        if(a[i]>a[mid]) {
            ll tmp=(a[i]-a[mid]+p-1)/p;
            cnt+=tmp;
        }
    }
    return cnt;
}
int main() {
	scanf("%d%lld%lld",&n,&k,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&a[i]),Max=max(Max,a[i]);
	}
    sort(a+1,a+1+n),reverse(a+1,a+1+n);
    if(p==0) {
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]);
        return 0;
    }
    if(n==1) {
        printf("%lld",a[1]-k*p);
        return 0;
    }
	ll l=1,r=n,res=0;
    while(l<=r) {
        ll mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)<=k) {
            l=mid+1,res=mid;
        }
        else {
            r=mid-1;
        }
    }
//     cout<<res<<endl;
    check(res); k-=cnt;
    if(res==n) {
        ll tmp=k/n; k%=n; //n 轮一个循环, 取到了 a[n] .
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(a[i]>a[res]) {
                ll tmp2=(a[i]-a[res]+p-1)/p;
                a[i]-=tmp2*p;
            }
            a[i]-=tmp*p;
            q.push(a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=k;i++) {
            ll x=q.top(); q.pop();
            q.push(x-p);
        }
    }
    else {
        //这里每次把最大数减到比次大数小，可以证明操作次数不超过 n
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(a[i]>a[res]) {
                ll tmp2=(a[i]-a[res]+p-1)/p;
                a[i]-=tmp2*p;
            }
            q.push(a[i]);
        }
        while(k) {
            ll x=q.top(); q.pop(); ll y=q.top();
            ll tmp=(x-y)/p+1;
            if(tmp<=k) {
                x-=tmp*p;
                k-=tmp;
                q.push(x);
            }
            else {
                x-=k*p;
                q.push(x);
                break;
            }
        }
        
    }
    while(q.size()) {
        ans.push_back(q.top()); q.pop();
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--) printf("%lld ",ans[i]);
}

讲到单调性，来看这道题：

小L的疑惑

结论：不能支付的面额可以表示为 t-xa-yb(x>=0,y>=0) 其中 t=ab-a-b 。

由于 k<=10^7 ，通过分析单调性，可以得到线性做法：

维护两个队列，初始将 t 放入 a 队列，每次取出两个队首最大值，如果是 b 栈就放入队尾，a 栈则放入两个栈的队尾，由于每次入栈的规则相同，而答案单调递增，所以两个队列具有单调性。

上述做法可以扩展到 n 栈的做法，时间复杂度 O(nk) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+10;
queue<ll> q[2];
ll res;
int main()
{
    long long a,b;
    int k;
    scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&k);
    q[0].push(a*b-a-b);
    for(int i=1;i<=k;i++) {
        if(!q[1].size()||q[0].front()>q[1].front()) {
            res=q[0].front(); q[0].pop();
            q[0].push(res-a),q[1].push(res-b);
        }
        else {
            res=q[1].front(); q[1].pop();
            q[1].push(res-b);
        }
    }
    printf("%lld",res);
    return 0;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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