【题解】第三届“图灵杯”趣味网络邀请赛 (中级)

前言

没事水的比赛。

Solution:

考场上猜对了结论。

本题的关键在于：对于一个二元组 $(d,k)$，可以看作平面直角坐标系中的一次移动，即 (x,y)->(x+d,y+k) 。对应到图上，梯形面积 = $\frac{1}{2}k|2x+d|$ = $\frac{1}{2}|2kx+kd|$ ，正好就是题目要我们算的贡献。

由于 $k$ 是正数，所以总答案就是我们围出来多边形的面积，不难证明凸包是最优的。

如果超过了坐标轴呢？我们同样可以通过调整法使结果更优。因为两次向量的累积效果是一样的。

所以按 $\frac{d_i}{k_i}$ 从小到大排序，正着遍历一遍，反着遍历一遍，取结果的最优值即可。时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

总结：二次乘积可以往用面积来表示。

Solution:

考场上只想到了 $30pts$ 的暴力做法。

正解非常巧妙。（反正我基本完全没想出来）。

判断欧拉回路的条件：

1. 对于 $in[i]\ne 0$ 的节点，组成一个大的连通块。
2. 对于所有 $in[i]\ne 0$ 的节点，$in[i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=0$ 。

我们考虑递推求出所有子区间的连通性。

首先我们固定一个左端点 $l$ 。考虑从 $r-1$ 扩展到 $r$，记 $[l,r-1]$ 中最左的权值比 $a[r]$ 小的点为 $i$ ，$[i,r-1]$ 中权值最大的点为 $j$。分类讨论：

1. 若 $x[j]<=x[r]$ ，那么区间 $[l,i-1]$没有一条边连向 $[i,r]$ ，此时当且仅当 $[l,i-1]$ 单调递减即不存在一个有效的点才成立；
2. 若 $x[j]>x[r]$ ，那么 此时判断 $[l,r]$ 的连通性相当于判断 $[l,j]$ 的连通性 ，可以递推求出。

首先第一条不难理解。为了证明第二条，我们需要一个引理：

区间 $[i,r]$ 一定联通且点的个数 $>=2$ 。换句话说， $[i,r]$ 中所有点都和 $r$ 处于同一连通块。因为假设有一个点 $k\in [i,r-1]$ 。此时必然满足条件 $a[k]\ge a[i]$ 或者 $a[k]\le a[r]$ ，又因为 $i,r$ 处于同一连通块，所以 $k$ 也是联通的。

所以我们可以把一个连通块 用权值最大的点 $j$ 代替 ，问题就转化成了 $[l,i-1]$ 中的点是否都和 $j$ 处于同一连通块，即 $[l,j]$ 是否连通。

完结撒花！

然后是第二种情况。很容易想到对于 $[l,r-1]$中所有小于 $a[r]$ 的数加一，具体可以用权值线段树或平衡树（$wgy$ 用权值线段树骗了 $80pts$ ），但是要注意用权值线段树时只能统计区间中出现过的点。但是这样做时间复杂度 $O(n^{2}logn)$。

考虑随机化思想。我们知道异或有一个很好的性质，就是两个相同的数异或为 $0$ 。所以我们对每一个点赋上权值 $w[i]$，虽然不能每条边依次加入地算贡献，但是我们只需要知道两个东西：

1. $[l,r-1]$ 中比 $a[r]$ 小的数的个数，记作 $cnt$ ，表示新增边的条数。可以用单调栈维护。
2. 栈中所有元素的 $w[i]$ 的异或和。把这个结果异或上 (cnt&1)w[r] 就是新增的边集的异或和。

因为 $w[i]$ 各不相同，而 $w[i]\in [0,2^{64})$ 的随机数，所以冲突的概率极小，可以忽略不计。

总时间复杂度 $O(n^2)$ ，因为没有题库，所以没有代码。总结：从本题中看出自己的知识面还是有欠缺，这是较 $wgy$ 大佬不足的地方。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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