【学习笔记】[Ynoi2013] 大学

因为学习的其他人的算法，所以叫学习笔记。。。

题意 ：

维护序列，支持下列两个操作 ：

把区间 $[l,r]$ 中所有 $x$ 的倍数除以 $x$。
查询区间 $[l,r]$ 的和。
强制在线。

$n\le 10^5,a\le 5\times 10^5$ ，时限 $\text{0.5s}$。

Solution:

伞兵题目 。

求和操作完全就是在误导往线段树上去想 （我太菜了）。

下面做法摘自 command_block ：

显然，只会有 $O(n\log a)$ 次生效的除法操作，我们使用树状数组维护区间和，这部分复杂度为 $O(n\log a\log n)$。

现在难点在于如何找到应该被除的数。

设 $S_d$ 为序列中所有为 $d$ 的倍数的数的集合，$S_{1...a}$ 的大小总和是 $\sum d(a)=O(nd(a))$ 的。而 $d(a{)}_{max}=200$ 。

当我们区间除 $d$ 时，只需要在 $S_d$ 中查看。

现在问题变为 ： 维护一个序列，支持每次删除一个 区间 内的数。

所以… set 暴力？

可以用并查集 + 链表来维护

链表太恶心了，直接并查集查下一个元素

复杂度 $O(n\sqrt{a}+n\log a\log n)$。

一些技巧：

$\text{Step 1}$
你发现暴力分解约数是 $O(n\sqrt{a})$ 而非 $O(n\sqrt[3]{a})$ ，会导致复杂度为 $O(n\sqrt{a}+n\log n)$，于是改为筛子预处理因数。

复杂度下降至 $O(a\ln a+n\sqrt[3]{a}+n\log a\log n)$。

$\text{Step 2}$
预处理因数时，不要用 vector 保存因数，自己写一个邻接表。

甚至发现只有 $n<=10^5$ 个数需要预处理因数，可以大大减小常数。

如果不加上述两条，会得到 $98pts$ 的好成绩。

$\text{Step 3}$
发现每一个位置的下标数组和并查集数组的大小是固定的。

所以保存下标和并查集的时候不需要使用 vector，可以自己开一个内存池，用指针来模拟数组。

这一点是非常重要的。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lbt(p) ((-p)&(p))
using namespace std;
ll read(){
  ll X=0;char ch=0;
  while(ch<48||ch>57)ch=getchar();
  while(ch>=48&&ch<=57)X=X*10+(ch^48),ch=getchar();
  return X;
}
const int MaxN=100500;
const int MaxA=500500;
const int mxt=6138450+500;
int n;ll t[MaxN];
int head[mxt],nxt[mxt],ver[mxt],tot;
void Add(int x,int y) {
	ver[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;
} 
void add(int p,int x) {
	while(p<=n) {
	    t[p]+=x; p+=lbt(p);
	}
}
ll qry(int p) {
	ll tot (0);
	while(p) {
		tot+=t[p]; p^=lbt(p);
	}
	return tot;
}
struct node{
	int *f;
	void Init(int n) {
		for(int i=0;i<n;i++) f[i]=i;
	}
	int find(int u) {
		return f[u]==u?u:f[u]=find(f[u]);
	}
}T[MaxA];
int c[MaxA],*p[MaxA],o[MaxN*405],*tp=o,x[MaxN];
void div(int l,int r,int d) {
	if(d==1) return;
	l=lower_bound(p[d],p[d]+c[d],l)-p[d];
	r=upper_bound(p[d],p[d]+c[d],r)-p[d]-1;
	if(l>r) return;
	for(int u=T[d].find(l);u<=r;) {
		int to=p[d][u];
		if(x[to]%d==0) {
			add(to,x[to]/d-x[to]);
			x[to]/=d;
		}
		if(u>=r) break;
		if(x[to]%d) {
			u=T[d].f[u]=T[d].find(u+1);
		}
		else u=T[d].find(u+1);
	}
}
int q,m;
signed main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("own.out","w",stdout);
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		add(i,x[i]=read());
		m=max(m,x[i]);
		c[x[i]]++;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++) {
		if(c[i]) Add(i,i);
		for(int j=i+i;j<=m;j+=i) {
			if(!c[j]) continue;
			c[i]+=c[j];
			Add(j,i);
		}
	}
//	printf("YES\n%d\n",cnt);
	for(int i=2;i<=m;i++) {
		if(c[i]) {
			p[i]=tp; tp+=c[i];
			T[i].f=tp; T[i].Init(c[i]);
			tp+=c[i]; c[i]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int t=x[i]; if(t<=1) continue;
		for(int j=head[t];j;j=nxt[j]) {
			int d=ver[j];
			p[d][c[d]++]=i;
		}
	}
	ll l,r,x,las=0;
	for(int i=1,op;i<=q;i++){
	    op=read();l=read();r=read();
	    l^=las;r^=las;
	    if(op==1)div(l,r,read()^las);
	    else printf("%lld\n",las=qry(r)-qry(l-1));
	}
}

__EOF__

本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530293.html
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