【题解】CF1554E - You

题意：给你一棵树，每次删除一个节点 $i$ 和所连的边，$a[i]$ 表示当前点所连的边的条数。令 $gcd(a[1],a[2],...,a[n])=k$ ，求对于 $k\in [0,n]$ 的不同序列 $a$ 的个数。

solution:

观察到不同的操作顺序可能决定相同的序列 $a$ 。例如，所有孤岛的入度为 $0$ ，而最终得到的序列只能是 $0$。

方便起见，我们假设 $(u,v)$ 的有向边表示 $u$ 比 $v$ 先删除，注意 $(u,v)$ 一定是树上的边。这样题意就转化为给每一条边 $(u,v)$ 钦定方向，每个节点的值为 $out[i]$ 。

因为 ${\sum }_{i=1}^{n}out[i]=n-1$ ，所以如果 $k$ 有方案的话，那么 $k|n-1$ 。

于是考虑枚举 $k$ 。如果 $k=1$ 那么 $f(k)=2^{n-1}$ 。否则 $k>1$ 。那么叶节点是可以确定的。 从下往上传递信息，对于每一个点只有 $1$ 条边可以支配，可以贪心地选择。

时间复杂度 $O(nd(n))$ 。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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