【题解】HDU2421 Deciphering Password

题意：定义 f(x) = x 的因子个数 ^ 3，g(x) = \sum_{i|x} f(x) 。求 g(A^B) mod 10007 。 A,B<=1e6 。

solution: 积性函数好题。

考点：唯一质因数分解 + 积性函数。

首先 f(x) 是积性函数。假设 f(x) = f(u*v) ，(u,v)=1 。设 d(x) = x 的质因子个数，由定义可知 d(x) = d(u) + d(v) ，又因为 f(x) = d(x)^3 = (d(u) + d(v))^3 = d(u)^3 d(v)^3 = f(u) * f(v) ，证毕。

容易发现 g(x) 也是积性函数。 假设 g(x) = g(u*v)，(u,v)=1 。那么对于 i|x ， i 的一部分 x1 属于 u， 另一部分 x2 则属于 v ，又因为 f(i) = f(x1)*f(x2) ，所以 g(x) = g(u) * g(v) ，证毕。

再利用唯一质因数分解定理，对 A 进行因式分解，只需要解决 $g(p_i^{a_i})$ 。又因为 $g(p_i^{a_i})={\sum }_{i=1}^{a_i+1}{i}^3=(a_i+1{)}^2(a_i+2{)}^2/4$ ，可以直接计算，答案就是 ${\prod }_{i}g(p_i^{a_i\ast B})$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int mx=1e6+5;
const int mod=10007;
int n,m,prime[mx],cnt,vis[mx];
signed main() {
    //  freopen("data.in","r",stdin);
    for(int i=2;i<=1e6;i++) {
    	if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,vis[i]=i;
    	for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=1e6;j++) {
    		vis[i*prime[j]]=prime[j]; //用来分离 i 的最小质因数 
    		if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
    int Case(0);
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
    	ll ans(1),res;
    	while(n>1) {
    		ll tmp=vis[n],cnt=0;
    		while(n%tmp==0) n/=tmp,cnt++;
    		cnt=cnt*m%mod;
    		res=(cnt+1)*(cnt+2)/2%mod;
    		res=res*res%mod;
    		ans=ans*res%mod;
		}
    	printf("Case %d: %lld\n",++Case,ans);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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