【学习笔记】[HDU 5407] CRB and Candies

题意：多组数据，每次给定一个 n ，求 $lcm(C(n,0),C(n,1),...,C(n,n))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$ 。

solution:
直接算肯定不好算。

我们证明一个结论： $$lcm(C(n,0),C(n,1),..,C(n,n))=(\frac{lcm(1,2,...,n+1)}{n+1})$$

定义 vp(x) 表示 p 在 x 中的最大次幂。

看看 Kummer 定理：

vp(C(n+m,m)) = n + m 在 p 进制下进位的次数。

然后是一个推论：max(vp(C(n,x))) = n 在 p 进制下的位数 - 最低位不为 p-1 的位数。

可以贪心证明。

再回头看结论，我们需要证明：

$vp(lcm(C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)))=vp(\frac{lcm(1,2,...,n+1)}{n+1})$

先看右边式子。 vp(lcm(1,2,…,n+1)) = p 进制下 n+1 的位数

如果 n+1 = p^x , 那么 vp(lcm(C(n,0),C(n,1),…,C(n,n))) = 0, vp(\frac{n+1}{n+1} = 1) 。

如果 n+1 \ne p^x, 那么 vp(lcm(1,2,…,n+1)) = vp(lcm(1,2,…,n)) = n 在 p 进制下的位数 , vp(n+1) = n+1 在 p 进制下末尾 0 的个数 = n 在 p 进制下末尾 p-1 的个数 。

证毕哈哈。拿着这个式子 O(n) 预处理即可。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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