【题解】[COCI2020-2021#2] Euklid

构造题。
来看这个东东：如果 $h^k\le b<h^{k+1}$ , 那么 $R(b,h)=h$ 。
构造这个东东：
$$\begin{gathered} b=g\lceil \frac{h^k}{g}\rceil \\ a=hb+g \end{gathered}$$

其中 $k$ 是 满足 $h^k>g$ 的最小正整数。我们知道 $g<h^k\le b\le g(\frac{h^k}{g}+1)=h^k+g<h^{k+1}$ $(h\ge 2)$ 。

我们有：

1. $gcd(a,b)=gcd(hb+g,b)=gcd(g,b)=g$ 。
2. $R(a,b)=R(hb+g,b)=R(h,b)=R(b,h)=h$

根据 $h^k\le b<h^{k+1}$ ，所以在经过 $k$ 次后会成为 $1$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll g,h;
int main() {
	int T; scanf("%d",&T); 
	while(T--) {
		scanf("%d%d",&g,&h);
		ll mul=h; while(mul<=g) mul*=h;
		ll a,b;
		printf("%lld %lld\n",a=h*b+g,b=((mul-1)/g+1)*g);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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