【题解】ABC214 G - Three Permutations

题意：给定两个排列 $p$, $q$ ，求排列 $r$ 的方案数，满足任意 $r_i\ne p_i$ 并且 $r_i\ne q_i$ 。$n<=3000$ 。

solution:
恶心题。

atcoder 就喜欢考置换和字符串计数。

容斥 + 计数dp + 图论。

考虑对每个 i 位置，(p[i],q[i]) 之间连一条边。不同的环之间是独立的。

考虑 dp[i][j][0/1/2][0/1/2] 表示 环上前 i 个点，撞了 j 个位置，s1 是第一个状态，s2 是第二个状态，0 表示没选，1 表示往左，2 表示往右。

考虑三种转移：

1. i+1 不选，dp[i][j][s1][s2]->dp[i+1][j][s1][0]
2. i+1 向左，dp[i][j][s1][s2]->dp[i+1][j+1][s1][1] (s2 \ne 2)
3. i+1 向右，dp[i][j][s1][s2]->dp[i+1][j+1][s1][2]

这个时间复杂度 $O(27n^2)$ 。当然对于所有的环必须 s1=1 和 s2=2 不同时成立。

最后把它破成链来处理，在环的交界处讨论一下即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int mx=3005;
const int mod=1e9+7;
int p[mx],q[mx],vis[mx],vis2[mx],n,m,L,to[mx],dp[mx][mx][3][3],f[mx],fac[mx],res;
inline int read() {
	int x=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
void Mod(int &x,int y) {
	x+=y; if(x>mod) x-=mod; 
}
signed main() { 
   // freopen("data.in","r",stdin);
	n=read(); fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) to[p[i]]=q[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(to[i]==i) {vis2[++m]=2;continue;}
		if(vis[i]) continue;
		for(int j=i;!vis[j];j=to[j]) vis[j]=1,m++;
		vis2[m]=1;
	}
	dp[0][0][0][0]=1; vis2[0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=i;j++) {
			if(vis2[i]) {
				dp[i][j][1][2]=0;
				if(vis2[i]==2) dp[i][j][1][1]=0;
				for(int k=0;k<=2;k++) {
					for(int l=0;l<=2;l++) {
						if(!dp[i][j][k][l]) continue;
						Mod(dp[i+1][j][0][0],dp[i][j][k][l]);
						Mod(dp[i+1][j+1][1][1],dp[i][j][k][l]);
						Mod(dp[i+1][j+1][2][2],dp[i][j][k][l]);
					}
				}
			}
			else {
				for(int k=0;k<=2;k++) {
					for(int l=0;l<=2;l++) {
						if(!dp[i][j][k][l]) continue;
						Mod(dp[i+1][j][k][0],dp[i][j][k][l]);
						if(l!=2) Mod(dp[i+1][j+1][k][1],dp[i][j][k][l]);
						Mod(dp[i+1][j+1][k][2],dp[i][j][k][l]);
					}
				}
			}
			
		}
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++) {
//		for(int j=0;j<=n;j++) {
//			for(int k=0;k<=2;k++) {
//				for(int l=0;l<=2;l++) {
//					printf("dp[%d][%d][%d][%d]=%d\n",i,j,k,l,dp[i][j][k][l]);
//				}
//			}
//		}
//	}
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=2;j++) {
			for(int k=0;k<=2;k++) {
				f[i]=(f[i]+dp[n][i][j][k])%mod;
			}
		}
	}
	
	for(int i=0;i<=n;i++){
//		printf("f[%d]=%d\n",i,f[i]);
		if(i&1) {
			res=(res-1ll*f[i]*fac[n-i]%mod)%mod;
		}
		else {
			res=(res+1ll*f[i]*fac[n-i]%mod)%mod; 
		}
	}
	if(res<0) res+=mod;
	printf("%d",res);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530281.html
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