【题解】[COCI2020-2021#2] Svjetlo

solution:

神仙状态。

考点：树形dp + 思维。

路径是可以重复的，简单地树形 dp 可能难以处理，考虑路径的拼接。

设 $dp[x][i][j]$ 表示第 x 个点的子树内（除了自己）的奇偶性已经满足，i 记录第 x 个点的奇偶性是否满足，且子树内（包括自己）的路径端点数有 j 个的最短路径长度，其中 i∈{0,1}，j∈{0,1,2} 。

状态转移方程系数：

1. dp[x][i][j]=min(dp[0][i^1][j]+dp[y][init[y]][0]+1)​

类似的如果翻转 y 的状态，那么：dp[x][i][j]=min(dp[0][i][j]+dp[y][rev[y]][0]+3)​

解释一下，因为没有 “头”，所以 x 要多遍历一次，同时 i 的状态也要取反。

2. dp[x][i][2]=min(dp[0][i^1][0]+dp[y][init[y]][2]+1)

同样翻转 y 的状态，能得到类似的转移：dp[x][i][2]=min(dp[0][i][0]+dp[y][rev[y]][2]+3)

同样是因为没有 “头”，所以 x 要多遍历一次。

3. dp[x][i][2]=min(dp[0][i][1]+dp[y][init[y]][1])

因为是两个 “头” 拼起来，所以直接把序列长度加起来。同样可以翻转 y 的状态。

4. dp[x][i][1]=min(dp[0][i][0]+dp[y][init[y]][1])

这里和第一条转移有区别，第一条是因为 x 有 ”头“，所以要回到 x ， x 多遍历一次；这个是 x 没有 ”头“，所以直接拼起来即可。可以翻转 x 的状态。

最后输出 dp[x][2][1] 即可。注意 init[x]=1 。特判空子树，否则会 wa 。

代码部分借鉴的 $kcznol$ 大佬。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int mx=5e5+5;
int init[mx],rev[mx];
int n,dp[mx][2][3],c1[mx];
char str[mx];
vector<int> g[mx];
template <typename T> void chmin(T &x, const T &y) {
    if (x > y)
        x = y;
}
void dfs1(int x,int fr) {
//	printf("%d\n",x);
	for(int i=0;i<=1;i++) {
		for(int j=0;j<=2;j++) {
			dp[x][i][j]=i?1:1e9;
		}
	}
	c1[x]=init[x];
	for(auto y:g[x]) {
		if(y==fr) continue;
		dfs1(y,x);
		c1[x]+=c1[y];
		if(c1[y]==0) continue;
		memcpy(dp[0],dp[x],sizeof dp[x]);
		memset(dp[x],0x3f,sizeof dp[x]);
		for(int i=0;i<=1;i++) {
			chmin(dp[x][i][2],dp[0][i][0]+dp[y][rev[y]][2]+1);
			chmin(dp[x][i][2],dp[0][i^1][0]+dp[y][init[y]][2]+3);
			chmin(dp[x][i][2],dp[0][i][1]+dp[y][init[y]][1]);
			chmin(dp[x][i][2],dp[0][i^1][1]+dp[y][rev[y]][1]+2);
			chmin(dp[x][i][1],dp[0][i][0]+dp[y][init[y]][1]);
			chmin(dp[x][i][1],dp[0][i^1][0]+dp[y][rev[y]][1]+2);
			for(int j=0;j<=2;j++) {
				chmin(dp[x][i][j],dp[0][i^1][j]+dp[y][init[y]][0]+1);
				chmin(dp[x][i][j],dp[0][i][j]+dp[y][rev[y]][0]+3);
			}
		}
	}
}
int main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",str);
	for(int i=1;i<=n;i++) init[i]=str[i-1]=='0',rev[i]=init[i]^1;
	for(int i=1;i<=n-1;i++) {
		int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
	}
	int x=1; while(!init[x]) ++x;
	dfs1(x,0);
//	for(int i=1;i<=n;i++) {
//		for(int j=0;j<=1;j++) {
//			for(int k=0;k<=2;k++) {
//				printf("dp[%d][%d][%d]=%d\n",i,j,k,dp[i][j][k]);
//			}
//		}
//	}
	printf("%d",dp[x][1][2]);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530279.html
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