【题解】Strange Queries

题意：给定一个整数集合包含 $A1,A2,...,A_n$ ，我们定义整数集合的代价为：如果数的个数 $\leq2$ ，则代价为 $0$ ；否则将每个整数至少与一个另外的整数建立连接。两个整数建立连接的代价是 $a_i-a_j|$ 。有 $q$ 次修改，每次会在集合中增加或删除一个数。 $n,q\leq 10^5$ 。

solution:
考点：权值线段树 + 区间 dp。

考虑离线处理，设 $d p [i] [j] [0 / 1]] [0 / 1]$ 表示区间 $[i, j]$ 的左右端点是/否建立连接，除端点外都至少被建立一次连接的最小代价。同时记录 $l p [i] [j]$ 表示区间 $[i, j]$ 中最靠左的存在于集合中的点， $r p [i] [j]$ 表示最靠右的点。

区间合并转移：

dp[p][i][j]=min(dp[p<<1][i][k]+dp[p<<1|1][l][j]+[k==0||l==0]lp[p<<1|1]-rp[p<<1]

然后是 $m e g (x, y)$ 函数：

如果其中之一为空，则直接返回另一个节点。
否则执行转移。如果 $l p [p] = r p [p]$ 那么 $d p [0] [1] = d p [1] [0] = 0$ 但是 $d p [1] [1] = I N F$ 。

注意线段树的划分方式是唯一确定的。时间复杂度 $O(2^4(n+q)log(n+q))$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mx = 2e5 + 5;
int n, m, lsh[mx], a[mx], cnt;
struct query {
    int op, x;
} q[mx];
struct node {
    int dp[2][2], lp, rp, siz;
} t[mx << 2], null;
int getx(int x) { return lower_bound(lsh + 1, lsh + 1 + cnt, x) - lsh; }
node meg(node x, node y) {
    node now;
    if (x.siz == 0)
        return y;
    if (y.siz == 0)
        return x;
    now.lp = x.lp;
    now.rp = y.rp;
    now.siz = x.siz + y.siz;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            now.dp[i][j] = INF;
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                for (int l = 0; l < 2; l++) {
                    int tmp = x.dp[i][k] + y.dp[l][j];
                    if (k == 0 || l == 0)
                        tmp += lsh[y.lp] - lsh[x.rp];
                    now.dp[i][j] = min(now.dp[i][j], tmp);
                }
            }
        }
    }
    return now;
}
void update(int p, int l, int r, int x, int val) {
    if (l == r) {
        if (val == 0) {
            t[p].lp = t[p].rp = l;
            for (int i = 0; i < 2; i++) {
                for (int j = 0; j < 2; j++) {
                    if (i == 1 && j == 1)
                        t[p].dp[i][j] = INF;
                    else
                        t[p].dp[i][j] = 0;
                }
            }
            t[p].siz = 1;
        } else {
            t[p].lp = t[p].rp = 0;
            for (int i = 0; i < 2; i++) {
                for (int j = 0; j < 2; j++) {
                    t[p].dp[i][j] = 0;
                }
            }
            t[p].siz = 0;
        }
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid)
        update(p << 1, l, mid, x, val);
    else
        update(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, val);
    t[p] = meg(t[p << 1], t[p << 1 | 1]);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), lsh[++cnt] = a[i];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d", &q[i].op, &q[i].x);
            q[i].op--;
            if (q[i].op == 0)
                lsh[++cnt] = q[i].x;
        }
        sort(lsh + 1, lsh + 1 + cnt);
        fill(t, t + cnt * 4 + 1, null);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = getx(a[i]);
            update(1, 1, cnt, x, 0);
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x = getx(q[i].x);
            update(1, 1, cnt, x, q[i].op);
            if (t[1].siz <= 1)
                printf("0\n");
            else
                printf("%d\n", t[1].dp[1][1]);
        }
    }
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530277.html
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