【学习笔记】原根 + 欧拉定理 + 威尔逊定理

欧拉定理：对于互质的两个正整数 $a$ 和 $m$，若 $(a,m)=1$，那么 $a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。注意 $m>1$ 。

根据欧拉定理我们知道，$a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。因此，$a^1,a^2,...$ 这样一个数列在模 $m$ 意义下将有一个长度为 $\varphi (m)$ 的循环节。

我们定义最短的循环节长度为 $or{d}_{m}a$ 。严格地，定义 $a$ 在模 $m$ 的意义下的阶是同余方程 $a^x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 的最小正整数解。

显然，$or{d}_{m}a$ 一定是 $\varphi (m)$ 的因数。特别地，当 $or{d}_{m}a=\varphi (m)$ 时，就称 $a$ 为模 $m$ 下的一个原根。

并不是所有数都存在原根。正整数有原根的充要条件为：它能表示为下列形式之一：$2,4,p^n,2p^n$ 。其中 $p$ 为奇素数。

那么如何判断一个数有多少原根？如果 $a$ 是 $m$ 的一个原根，当且仅当 $(b,\varphi (m))=1$ 时，$a^b$ 在模 $p$ 意义下也是原根。证明如下：根据幂运算的性质，$a^{b\ast ord(a^b)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。那么底数相同，得到 $\varphi (m)|b\ast ord(a^b)$ ，即是 $ord(a^b)=\frac{\varphi (m)}{(\varphi (m),b)}$ 。当且仅当 $(b,\varphi (m))=1$ 时 $ord(a^b)=\varphi (m)$ 。

又因为 $a^1,a^2,...,a^{\varphi (m)}$ 在模 $m$ 意义下互不相同，其中 $a^s|(s,\varphi (m))=1$ 是原根，而 $s$ 一共有 $\varphi (\varphi (m))$ 种取值，所以一共有 $\varphi (\varphi (m))$ 个原根（容易证明它们就是 $m$ 的所有原根，因为模 $m$ 最多有 $\varphi (m)$ 种取值）。

这同时启示我们，求原根时，只需要找到一个原根，就很容易得到全部原根。因为最小原根不超过 $n^{0.25}$ 。

威尔逊定理：设正整数 $p\ge 2$。当且仅当 $p$ 是素数时，$(p-1)!\equiv p-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。否则如果 $p=4$ ，那么 $(p-1)!\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ；其余情况 $(p-1)!\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。注意 $p=4$ 要特判。

扩展欧拉定理：设 $m>1$ ，$a$ 和 $m$ 不互质，如果 $b\ge \varphi (m)$ ， 那么 $a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)+\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。

证明：考虑把 $m$ 质因数分解，只要对于任意 $p_i^{q_i}$ 满足 $a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)+\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{q_i})$ 即可。

现在再分类讨论 $p_i^{q_i}$ 。

• 若 $(p_i^{q_i},a)=1$ 那么根据欧拉定理有 $a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。又因为 $a^b\equiv a^{\lfloor b/\varphi (m)\rfloor \ast \varphi (m)+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{q_i})$ ，注意到欧拉函数是 积性函数 ，所以 $\varphi (p_i^{q_i})|\varphi (m)$，因此上述结论是显然的。
• 若 $(p_i^{q_i},a)\ne 1$ ，则 $a$ 一定是 $p_i$ 的倍数，注意到 $\varphi (m)\ge \varphi (p_i^{q_i})=p_i^{q_i-1}(p_i-1)\ge q_i$ ，所以 $p_i^{q_i}|a^{\varphi (m)}$ ，同时因为 $b\ge \varphi (m)$ 所以 $p_i^{q_i}|a^b$ ，等式左右都为 0 所以是成立的。

证毕。

注意这个式子只对 $b\ge \varphi (m)$ 成立。（从第二条证明可以看出）。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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